統計学

2個のサイコロを同時に投げる時、それぞれの出る目の数をX,Yとする。XとYは独立か。
さらに、Z=X+Yの従う確率分布及びその分布の平均値と分散を求め、μ(z)=μ(x)+μ(y)　、　σ^2(z)=σ^2(x)+σ^2(y)がそれぞれ成り立つことを確認せよ。

という問題なのですが、2次元確率分布表とXの周辺分布、Yの周辺分布はわかったのですが、周辺分布を使って、平均値と分散が出せたと思うのですが、ご教示願えませんでしょうか。

また問題にはσ^2(z)=σ^2(x)+σ^2(y)が成り立つ時、σ^2(z)=σ^2(x)+σ^2(y)+2σ(xy)が成り立つ時がありますが、どのような場合に変わるのでしょうか。
独立のときが後者で、独立ではない時は前者なのでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/07/08 11:03

＞　2個のサイコロを同時に投げる時、それぞれの出る目の数をX,Yとする。

XとYは独立か。

X と Y は互いに独立

1≦x ≦ 6,　1 ≦ y ≦ 6,
P( X = x | Y = y ) を Y が y であるときに X が x となる条件付確率として
P( X = x | Y = y ) = P( X = x ) = 1 / 6 ,　 P( Y = y | X = x ) = P( Y = y ) = 1 / 6
また、P( X = x ∧ Y = y ) = P( X = x ) P( Y = y ) = (1/6)^2

＞　Z=X+Yの従う確率分布及びその分布の平均値と分散を求め、μ(z)=μ(x)+μ(y)　、　σ^2(z)=σ^2(x)+σ^2(y)がそれぞれ成り立つことを確認せよ。

Z = X + Y
2 ≦ Z ≦ 12
2 ≦ z ≦ 7 のとき
P( Z = z ) = Σ[x=1, z-1] P( X = x ∧ Y = z - x ) = Σ[x=1, z-1] P( X = x ) P( Y = z - x ) = (z - 1) (1/6)^2
7 ＜ z ≦ 12 のとき ( 1 ≦ Z = X + Y ≦ X + 6 より Z - 6 ≦ X )
P( Z = z ) = Σ[x=z-6, 6] P( X = x ∧ Y = z - x ) = Σ[x=z-6, 6] P( X = x ) P( Y = z - x ) = (13 - z) (1/6)^2
( P( X = x ∧ Y = z - x ) = P( X = x ) P( Y = z - x) は X, Y が互いに独立であるが故に成立　）

μ(z) = Σ[z=2 , 12] { z P( Z = z ) }
　　　= Σ[z=2, 7] z (z - 1) (1/6)^2 + Σ[z=8, 12] z (13 - z) (1/6)^2
　　　= 7
σ^2(z) = Σ[z=2, 12] (z - μ(z))^2 P( Z = z )
　　　= Σ[z=2, 7] (z - 7)^2 (z - 1) (1/6)^2 + Σ[z=8, 12] (z - 7)^2 (13 - z) (1/6)^2
　　　= 35 / 6
ここで、
μ(x) = μ(y) = 7 / 2　より、μ(z) = μ(x) + μ(y) が成立
σ^2(x) = σ^2(y) = 35 / 12 より σ^2(z) = σ^2(x) + σ^2(y) が成立

＞　周辺分布を使って、平均値と分散が出せたと思うのですが・・・
μ(z) = Σ[x=1,6] Σ[y=1, 6] { (x + y) P( X = x ∧ Y = y ) }
　　　= Σ[x=1,6] Σ[y=1, 6] { (x + y) P( X = x ) P( Y = y ) }　　　　　（∵ X, Y は互いに独立）
　　　= Σ[x=1,6] Σ[y=1, 6] { x P( X = x ) P( Y = y ) + y P( X = x ) P( Y = y ) }
　　　= Σ[x=1,6] { x P( X = x ) Σ[y=1,6] P(Y = y) } + Σ[y=1,6] { y P( Y = y ) Σ[x=1,6] P(X = x) }
　　　( Σ[y=1,6] P(Y = y) = Σ[x=1,6] P(X = x) = 1 より ）
　　　= Σ[x=1,6] { x P( X = x ) } + Σ[y=1,6] y P( Y = y )
　　　= μ(x) + μ(y)

σ^2(z) = Σ[x=1,6] Σ[y=1, 6] { (x + y - μ(z))^2 P( X = x ∧ Y = y ) }
　　　= Σ[x=1,6] Σ[y=1, 6] { (x + y - μ(x) - μ(y))^2 P( X = x ) P( Y = y ) }
　　　= Σ[x=1,6] Σ[y=1, 6] [ { (x - μ(x))^2 + (y - μ(y))^2
　　　　　　+ 2 (x - μ(x)) (y - μ(y)) } P( X = x ) P( Y = y ) ]
　　　= Σ[x=1,6] Σ[y=1, 6] { (x - μ(x))^2 P( X = x ) P( Y = y )} + Σ[x=1,6] Σ[y=1, 6] { (y - μ(y))^2 P( X = x ) P( Y = y ) }
　　　　　　+ 2 Σ[x=1,6] Σ[y=1, 6] { (x - μ(x)) (y - μ(y)) P( X = x ) P( Y = y ) }
　　　= Σ[x=1,6] { (x - μ(x))^2 P( X = x ) Σ[y=1, 6] P( Y = y ) } + Σ[y=1, 6] { (y - μ(y))^2 P( Y = y ) Σ[x=1,6] P( X = x ) }
　　　　　　+ 2 Σ[x=1,6] { (x - μ(x)) P( X = x ) Σ[y=1, 6] (y - μ(y)) P( Y = y ) }
　　　（ Σ[y=1, 6] P( Y = y ) = Σ[x=1,6] P( X = x ) = 1 ,　 Σ[y=1, 6] (y - μ(y)) P( Y = y ) = 0 より ）
　　　= Σ[x=1,6] { (x - μ(x))^2 P( X = x ) } + Σ[y=1, 6] { (y - μ(y))^2 P( Y = y ) }
　　　= σ^2(x) + σ^2(y)
普通はこんな計算はしないで、E[X] を平均、V[X] を分散とすれば
E[Z] = E[X + Y] = E[X] + E[Y] は（X, Y が独立でなくても）常に成立
V[Z] = E[ ( Z - E[Z] )^2 ]
　　= E[ ( X + Y - E[X + Y] )^2 ]
　　= E[ ( X + Y - E[X] - E[Y] )^2 ]
　　= E[ (X - E[X])^2 + (Y - E[Y])^2 + 2 (X - E[X]) (Y - E[Y]) ]
　　= E[ (X - E[X])^2 ] + E[ (Y - E[Y])^2 ] + 2 E[ (X - E[X]) (Y - E[Y]) ]
ここで、X, Y が互いに独立ならば、X - E[X],　Y - E[Y] も（定数を引いただけだから）互いに独立なので E[ (X - E[X]) (Y - E[Y]) ] = E[ X - E[X] ] E[ Y - E[Y] ] = 0

∴　X,Y が独立ならば　V[Z] = E[ (X - E[X])^2 ] + E[ (Y - E[Y])^2 ] = V[X] + V[Y]

X,Y が互いに独立でなければ、2 E[ (X - E[X]) (Y - E[Y]) ] は 0 にはならず、
V[Z] = V[X] + V[Y] + 2 Cov[X,Y]
Cov[X,Y] = E[ (X - E[X]) (Y - E[Y]) ] は X, Y の共分散

＞　σ^2(z)=σ^2(x)+σ^2(y)が成り立つ時、σ^2(z)=σ^2(x)+σ^2(y)+2σ(xy)が成り立つ時がありますが、どのような場合に変わるのでしょうか。
＞　独立のときが後者で、独立ではない時は前者なのでしょうか。

逆です。独立のときが前者、そうでない場合は後者です。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2008/07/09 19:05