行列の二項定理？？？

行列ＢとＣがある。ＢＣ＝〇のとき（B＋C）のｎ剰（ｎ≧２）の展開式は、行列で２項定理は使うことができないので、どのようにしたらいいのかわかりません。どうか教えてください。

No.1 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/11/30 00:54

ＢＣ＝〇だけでなく,ＣＢ＝〇も成立することがもしいえるのならば,　うれしいのですが．．．

一般にはＢＣ＝ＣＢ(＝〇でなくとも)であれば，行列ＢとＣは可換(交換できる)であり，普通の数と同じように２項定理が使えますが，そうでないと一般には（筆者には）苦しいです．推定して帰納法？

No.2 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/11/30 01:35

ＢＣ＝〇

本当にこの条件しかないとすると，まともに考えるのでしょう．

(Ｂ＋Ｃ)^2＝(Ｂ＋Ｃ)(Ｂ＋Ｃ)＝Ｂ^2＋ＢＣ＋ＣＢ＋Ｃ^2＝Ｂ^2＋ＣＢ＋Ｃ^2
一般には
(Ｂ＋Ｃ)^n＝Σ_{r=0～n}a[r]×｛Ｂが(n-r)個とＣのr個の積}
と書いたとき，ＢＣの順の積を１か所でも含むものは〇になりますので，
可能なのは端のＢ^nとＣ^nを除けば，途中では
Ｃ^r・Ｂ^(n-r)
しか残らないので，係数は例えばＣの次数でみた時の各次数の展開項ごとにそれぞれ１で，
(Ｂ＋Ｃ)^n＝Σ_{r=0～n}Ｃ^r・Ｂ^(n-r)
となります．

No.3 ベストアンサー 回答者： Umada 回答日時： 2002/11/30 01:49

oshiete_gooさんの指摘の通りCB=O(ゼロ行列の事ですよね)だとありがたいのですが、一応CB≠Oが与えられていないものとして解いてみます。

なお
(1)一般にBC=Oで、かつB,Cのいずれもゼロ行列でないならば、B,Cのいずれも逆行列を持たない
(2)BC=Oであっても、CB=Oとは限らない
の2点には注意してください。

最初に少し書き下してみます。
(B+C)^3
=(B^2+CB+C^2)×(B+C)
=B^3+C B^2+C^2 B+B^2 C+CBC+C^3
=B^3+C B^2+C^2 B+C^3

(B+C)^4
=(B^3+C B^2+C^2 B+C^3)×(B+C)
=B^4+C B^3+C^2 B^2+C^3 B+B^3 C+CB^2C+C^2BC+C^4
=B^4+C B^3+C^2 B^2+C^3 B+C^4

こうしてみると一般に、
(B+C)^n
=B^n+C B^(n-1)+ C^2 B^(n-2)+.....+C^(n-1) B+C^n
が成立しそうだと分かります。
vikkyiさんならお気付きだと思いますが、数学的帰納法を使うのが簡単です。

【証明すべき命題】
(B+C)^n=B^n+C B^(n-1)+ C^2 B^(n-2)+.....+C^(n-1) B+C^n
が、すべての自然数nに対し成り立つ。

【証明】
(B+C)^1=B+C
であるので、まずn=1で成り立つ。

次にn=kで命題が成り立つとする。すなわち
(B+C)^k=B^k+C B^(k-1)+ C^2 B^(k-2)+.....+C^(k-1) B+C^k
が成り立つと仮定する。

n=k+1においては
(B+C)^(k+1)
={B^k+C B^(k-1)+ C^2 B^(k-2)+.....+C^(k-1) B+C^k}×(B+C)
=B^(k+1)+C^(k+1)+{C B^(k-1)+ C^2 B^(k-2)+.....+C^(k-1) B+C^k}×B　←最後がBCとなる項は全部消える
=B^(k+1)+C^(k+1)+{C B^k+ C^2 B^(k-1)+.....+C^(k-1) B^2+C^k B}
=B^(k+1)+C B^k+ C^2 B^(k-1)+.....+C^k B+C^(k+1)

となって、命題は成り立つ。
よって最初の命題は、すべての自然数nに対し成り立つ。
CB=Oが成り立つなら(B+C)^n=B^n+C^nとなって非常に簡単な形になりますが、これは上の証明の中の特殊なケースであることはお気付きの通りです。

No.4 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/11/30 08:06

#2の補足訂正です.

行列では一般にＢＣとＣＢは異なるので,#2の解答で
＞(Ｂ＋Ｃ)^n＝Σ_{r=0～n}a[r]×｛Ｂが(n-r)個とＣのr個の積}
とまとめて係数a[r]をつけて書いたのは誤りでした.

＞(Ｂ＋Ｃ)^n＝Σ_{r=0～n}{Ｂが(n-r)個とＣのr個の積の項(nＣr個)の和}
と訂正させてください. 失礼しました.

例えばＣの次数ごとに整理して,同じ次数の展開項を見たとき,　n≧2より，端の2項Ｂ^nとＣ^nを除けば，途中ではＣＢの積を1個以上含む項が現れます．
そのＣＢの場所に注目すると, ＢＣ＝〇を含んで項全体が〇になってしまわないための条件として，『Ｂの右にはＣは来ない，Ｃの左にはＢは来ない』これがポイントで，

1)積ＣＢのＣの左側にはＣは掛かっていても良いが, Ｂは来ない(左はずっと0個以上のＣの積)
2)逆に,右側のＢの右にはＢは掛かっていても良いが, Ｃは来ない(右はずっと0個以上のＢの積)
という議論から，各ｒ(1≦r≦n-1)について，Ｃをr個含む積は
Ｃ^r・Ｂ^(n-r)
のみであることが示せます．以下略．