下記の命題の(iii)がどうしても示せません。
[定義]f:B→R∪{+∞}を可測空間(A,B)上の外測度。
⇔(def)
(i) f(2^A)⊂[0,∞],特にf(φ)=0
(ii) C⊂D(C,D∈2^A)⇒f(C)≦f(D)
(iii) f(∪[n=1..∞]C_n)≦Σ[n=1..∞]f(C_n) (C_n∈2^A (n∈N))
[定義]f:B→R∪{+∞}を可測空間(A,B)上の外測度とする。E(⊂A)は(A,B)上でf-可測(集合)。
⇔(def)
∀C∈2^A,f(C)=f(C∩E)+f(C∩E^c)
[命題] (A,B)を可測空間とする。(A,B)上のf-可測集合全体Mはσ集合体をなす。
[証]
(i) E∈M⇒E^c∈Mは
今E∈Mなので∀C∈2^A,f(C)=f(C∩E)∪f(C∩E^c)が成立。
これはf(C)=f(C∩E^c)∪f(C∩(E^c)^c)とも書けるのでE^c∈M
(ii) φ∈M
∀C∈2^A,f(C)=f(C∩A)=f(C∩(φ∪φ^c))=f((C∩φ)∪(C∩φ^c))と書ける。
従って,f-可測の定義よりφ∈M
(iii) E_i∈M (i∈N)⇒∪[i∈N]E_i∈M
E_i∈Mより∀C∈2^A,f(C)=f((C∩E_i)∪(C∩E_i^c))と書ける。
これからどうやって
f(C)=f((C∩(∪[i∈N]E_i))+f(C∩(∪[i∈N]E_i)^c)
が導けますでしょうか?
No.1
- 回答日時:
有難うございます。
> P16~17に書いてありましたんで、もし良かったら参考にして下さい。
> http://www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h19/20 …
「残っているのは互いに素な…」とありますが
σ集合体の3つ目の定義は
「(iii) E_i∈M (i∈N)⇒∪[i∈N]E_i∈M」
で互いに素な任意個の和集合がMの元になるのではなく、単に
任意個の和集合がMの元になるのではなかったでしょうか?
No.2
- 回答日時:
互いに素な集合の場合を示せば十分だということです。
確かに、σ集合体の定義では、各番号でMに入っているならば可算和集合も入っているですが,
UE_i=UF_i (F_jはjに関して互いに素)
のように取り直してあげるのです。
そしてUF_i \in Mを示せばいいということです。
ご回答有難うございます。暫らく考えておりました。
> UE_i=UF_i (F_jはjに関して互いに素)
> のように取り直してあげるのです。
p17上部
「Bがσ集合体になる事,及びB上のσ加法性を示す。{A_n}⊂Bを互いに素とする。
まず,∪[i=1..n]A_n∈Bより
m*(E)=m*(E∩(∪[i=1..n]A_i))+m*(E∩(∪[i=1..n]A_i)^c)」
を拝見しておりますと
UE_i=UF_i (F_jはjに関して互いに素)
でF_i∈Mになるように書いてあります。
任意にE_i∈M (i∈N)を取った時,
F_i (i∈N)をUE_i=UF_i (F_jはjに関して互いに素)となるように取り直して
しかもF_i∈Mとできる保証はどうやって言えるでしょうか?
単に互いに素になるようにとればいいのなら単純に
F_1:=UE_i, F_2=F_3=…=φと取れば F_i (i∈N)は互いに素ですけど
UF_i∈Mとなるかどうかは分かりませんよね。
任意のE_i∈M (i∈N)に対して
UE_i=UF_i
且つ
F_iは互いに素
且つ
F_i∈M
となるF_iの取り方をお教え下さい。m(_ _)m
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
F_1:=UE_i, F_2=F_3=…=φと取れば F_i (i∈N)は互いに素ですけど
UF_i∈Mとなるかどうかは分かりませんよね。
この場合はF_1∈Mに入っているかわからないので意味がないと思います。定義は、各iに対してF_i∈Mが前提となっております。
論文P16の真ん中部分で、Mは補集合、有限加法性に閉じている。
後、各nに対して、F_n∈M(F_nは互いに素)ならば∪F_n ∈M(可算和集合)も成り立つことは分かったと思います。
後は、
(1)E_1=F_1,E_n=F_n∩(∪_{i=1 to n-1}E_i)^{c} (n>2)とおくと 、
各nに対して E_n∈Mである。
なぜなら、 補集合と有限加法性から分かると思います。
そして、このようE_nをとると、
∪F_i=∪E_i (可算和集合)
が成立する。
よって,各nに対してF_n∈M ならば∪F_n∈Mを示せば十分ということになります。
間違ってたらごめんなさい。久しぶりに考えたので。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 実数全体の集合Rの可算部分集合は可測であることを示せ。 示せる方いましたらよろしくお願いします。実解 1 2023/04/27 19:48
- 運転免許・教習所 効果測定の問題集を買ったんですけど、1番最初の効果測定は上の問題集ですよね。教えてください 1 2023/03/10 14:34
- 物理学 位置エネルギーは質量ですか。 16 2023/06/11 19:40
- 数学 測度論の問題です。 2 2022/07/26 20:34
- 電気工事士 絶縁測定について質問です。 100V排水ポンプの絶縁測定、線間測定についてですが、 ポンプ本体に付い 3 2022/10/08 21:48
- 不動産業・賃貸業 地積測量図と確定測量図について 2 2022/10/12 21:17
- その他(ニュース・時事問題) ウクライナがNATOに飛行禁止区域設定を申請したが断られたそうです。 しかし、仮に設定してもらえたと 1 2022/03/23 07:35
- 妊活 基礎体温を今月から測っております。 最近、夜中の2時や3時に目が覚めることが多く、仕事で起きるのは朝 1 2023/01/30 21:33
- 化学 メチレンブルー溶液を使用して活性炭による吸着量の測定を行いました。 どうしてもわからないところがある 1 2022/06/29 00:43
- 相続・譲渡・売却 土地.戸建ての売買について "古屋有り" の戸建てを出す場合、 公簿と実測では、後者の方が、価格的に 4 2023/02/05 09:01
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
∈と⊂の違いは何ですか?
-
部分が全体に等しいのが無限で...
-
数学で、数字の上にある横線の意味
-
数字の上のバー
-
数字は存在するのか
-
集積点が、まったく分かりませ...
-
数学でのセミコロンについて
-
アレフ2以上の集合?
-
R\\{0} って、0を除く実数って...
-
有理数÷有理数は絶対有理数なん...
-
このマーク?はどういう意味の...
-
Rの半開区間(0,1]と開区間(0,1)...
-
要素と、部分集合の違いを教え...
-
高校1年の数学Aです。 この、ピ...
-
順列組合せについて
-
ACCESSのSQL
-
はじめて位相空間を勉強するの...
-
A∩BとAかつBは意味が違うのでし...
-
数学の集合で閉じているの意味...
-
急用で出れなかった授業のレポ...
おすすめ情報