慣性モーメントの運動エネルギー

お世話になっております。
慣性モーメントの運動エネルギー（正式名称は回転運動のエネルギーでいいのでしょうか？）について
よくわからないことがでましたので質問させていただきました。

たとえば
重心周りの慣性モーメントがIzで質量がm,回転中心軸からの距離がlであるとき、その剛体が中心軸に対して角速度wで動いている場合
慣性モーメントの運動エネルギーは
((Iz + mll)/2)w^2
となることはわかっています。

では、ある円柱を地面にそって転がすとき、
重心が円柱の中心から半径方向に距離bだけずれている場合
回転運動のエネルギーはどうなるのでしょう？
（このほかに重心速度由来の(並進)運動エネルギーがつくと思われますが、それは今回置いておくことにします）

さて、さきほどと同様に重心周りをIz,質量をmとしたとき円柱の回転運動のエネルギーは
((Iz + mbb)/2)w^2となるのでしょうか？
それとも
(Iz/2)w^2となるのでしょうか？

なお、このときの角速度wを測る基準となるθは重心からとるべきなのか、中心から取るべきなのかもよくわかりません。

どなたかご教授お願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2008/08/10 11:22

本来，回転の運動エネルギーは運動エネルギー

の一部であると考えるべきだと思います。
私たちは，剛体の運動を調べるときに便宜的に
重心の運動と重心周りの回転運動とに分けるわけ
ですが，現実に存在する運動エネルギーは剛体の
各部の運動エネルギーの総和にすぎません。
ですから，もともと回転運動のエネルギーと
並進運動のエネルギーを分けることは便宜的な
操作であると解釈できます。
さて，提示された場面の場合回転を中心周りに
とるか重心周りにとるかですが，それは何を知り
たいのかという便宜でどちらの立場もとりうると
思います。しかし，一般的な方法として重心運動
と重心周りの運動とに分ける方法が確立されて
いますから，その方法をとるのであれば1/2Izω^2
の方をとることになり，さらに中心周りの重心の
回転を残る運動エネルギーに含ませることになる
でしょう。このとき重心はトロコイド曲線を描き
ますから，運動を回転運動と並進運動とに分け
切れなかったということになります。
一方，回転を中心周りにとれば運動学としては
回転運動と並進運動をすっきり分けた格好になり
ますが，今度は重心運動を分離できなくなって
しまいますね。
結論として，この運動を解析する方法としては
前者の立場をとって，
重心周りの回転　：1/2 Izω^2
重心運動　　　　：1/2 m(r^2+b^2+2brsinθ)ω^2
ただし，θは中心の進行方向（地面と平行）に
対する重心位置の中心角で　ω=dθ/dt。
とでも書くことになるでしょうか？
位置エネルギーとして重心の上下運動を考慮すれば
運動方程式が書きおろせると思います。

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2008/08/11 08:57

補足です。

θを地面に垂直下方を基準にとった方が、
重心運動　　　　：1/2 m(r^2+b^2-2brcosθ)ω^2
となり、余弦定理との関連が見えてわかりやすいかも
しれませんね。
また、この場合θは中心から重心方向へとっていますが、
重心から中心方向へとってもπのずれがあるだけで
本質的に変わりありませんね。回転軸をどこにとって、
測定点をどこにとってもωは変わりません。
ちなみに、上の重心運動のエネルギーの中の重心の
速度は、中心の速度と中心に対する重心の速度を
ベクトルとして加えてもいいし、また、地面との接点を
軸とした重心の回転を考えるとただちに出てきますね。

この回答へのお礼

遅くなりまして、申し訳ありませんでした。

つまり、
中心に対する回転を含めた重心の速度運動と、重心周りの回転運動として運動エネルギーを分類する立場
と
中心回りの回転運動と、そのときの中心周りの回転成分をのぞいた重心の速度運動として分類する立場
の二つの立場をうまく使い分ければよいということですね？

たいへんわかりやすい説明で、今までなんとなくやっていたことに関して紛れがなくなり、
ある参考書をやっていて、yokkun831さんのおっしゃる通りの考え方でどの立場で見ているのか気にしつつやってみたら
ほぼすべて問題なく解けましたので、自信がついたように思えます。

ありがとうございます。

しかし、一問だけ、模範解答とどうしても違ってきてしまう問題があり、新しく質問を立てましたので
よろしければ、それについてもコメントいただけると大変うれしいです。

こちらは閉じさせていただきます。
ありがとうございました。

新しくたてたのはこちらです(物理学、Q4246309です)
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4246309.html
よろしくお願いいたします。

お礼日時：2008/08/12 15:24