ドップラー効果の問題

「静止している水素原子はλ0の光を出す。ある星雲からの同じ光を調べたらλ0より長いλ1の波長になっていた。この星雲は地球に近づいているか、遠ざかっているか。またその速さvはいくらか。光速をcとし、地球は止まっているとしてよい。」
という問題があって、解説では波長が長くなっているから、振動数は減っているから遠ざかっていると書いてありましたが、なぜ振動数が減ると遠ざかっているとわかるのでしょうか？
後,f1＝c／cー(ーv)・f0と書いてありましたが、
公式のf＝Ｖーu／Ｖーv・f0は使わないのでしょうか？
あとf1＝c／cー(ーv)・f0の続きにc/λ1＝c/c+v・c/λ0
∴ｖ＝λ1ーλ0／λ0・ｃとなっていたのですが、ここの式がどのように成り立っているのかわからなくて困っているので教えてください。お願いします！

No.1 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2008/08/20 00:48

こんばんは。

＞＞＞
なぜ振動数が減ると遠ざかっているとわかるのでしょうか？

真空中の光の速度は、絶対に一定なので、
振動数が減っているということは、１振動の周期毎に物体が遠ざかっていること以外の説明がないからです。


＞＞＞
後,f1＝c／cー(ーv)・f0と書いてありましたが、
公式のf＝Ｖーu／Ｖーv・f0は使わないのでしょうか？

音のドップラー効果の場合は、
近づくとき音速が速くなり、遠ざかるとき音速が小さくなります。
しかし、真空中の光速は絶対に一定なので、音のドップラー効果と同じ式が使えません。
（参考）
http://www.gem.hi-ho.ne.jp/katsu-san/audio/doppl …


＞＞＞
あとf1＝c／cー(ーv)・f0の続きにc/λ1＝c/c+v・c/λ0
∴ｖ＝λ1ーλ0／λ0・ｃとなっていたのですが、ここの式がどのように成り立っているのかわからなくて困っているので教えてください。

ｆ1　＝　c／cー(ーv)・f0　＝　ｃ／（ｃ＋ｖ）・ｆ0　　・・・（あ）

また、当然ながら、
ｆ1　＝　ｃ／λ1　　・・・（い）
ｆ0　＝　ｃ／λ0　　・・・（う）
です。

（あ）に（い）と（う）を代入すれば、
ｃ／λ1　＝　ｃ／（ｃ＋ｖ）・ｃ／λ0
です。

両辺をｃで割って、
１／λ1　＝　ｃ／（（ｃ＋ｖ）λ0）
λ0／λ1　＝　ｃ／（ｃ＋ｖ）
両辺の逆数をとって
λ1／λ0　＝　（ｃ＋ｖ）／ｃ
ｃ＋ｖ　＝　λ1／λ0・ｃ
ｖ　＝　λ1／λ0・ｃ　－　ｃ　＝　（λ1／λ0　－　１）・ｃ
　＝　（λ1－λ0）／λ0・ｃ


以上、ご参考になりましたら。

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2008/08/20 13:27

参考までに補足させて下さい。

>後,f1＝c／cー(ーv)・f0と書いてありましたが、
>公式のf＝Ｖーu／Ｖーv・f0は使わないのでしょうか？
使っているのですよ。Vをcに、vを-vに置き換えているだけです。
観測者の速度u=0ですね。

光のドップラー効果については、厳密には音のドップラー効果と
異なるためにそのまま適用することはできないことは、#1さんが
紹介されているとおりですが、この場合、vがcより十分小さいと
見て近似をしているのです。結果的に音の場合の公式と同じにして
使っています。
※ただし、すなおな近似では　f1=(c-v)/c・f0 となります。
vがcより十分小さい場合に２つの式はほぼ同じ結果を与えます。

本来、この問題は高校レベルのドップラー効果の問題としては
ふさわしくありません。さもなければ、使うべき近似式を
問題中で与えるべきです。すなおな近似で得られる結果は、
v=(λ1-λ0)/λ1・c　となり分母が異なります。