中２数学 自然数の問題

中２の子どもの数学問題でお恥ずかしながら解答を見ても説明できなかった問題です。よろしくお願いします。
【問題】各位の数の和が３の倍数である自然数は３の倍数である。
　百の位の数をa、十の位の数をb、一の位の数をｃとして３けたの自然　数について、このわけを説明しなさい。
【解答】
　100a+10b+c=3(33a+3b)+(a+b+c）
　33a+3bは自然数で、a+b+cは3の倍数だから3(33a+3b)+(a+b+c）は
　3の倍数である。
解答中の右側の式を立てるまでの説明が上手く出来ません。
「何故突然33とか出るの？」と言われてしまい・・・。
わかりやすく説明をよろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： solalin 回答日時： 2008/09/02 00:19

100a+10b+c=3(33a+3b)+(a+b+c）

　33a+3bは自然数ですから　3(33a+3b)は３かける自然数だから３の倍数になりますよね、a+b+cが3の倍数ならば　3(33a+3b)+(a+b+c）は３の倍数プラス３の倍数だから　3の倍数になる。これは、お分かりでしょうか。
そして、なぜ、右側の式が出てくるかというと、各位の数の和が３の倍数である、これを式で表すと、a+b+cが3の倍数となります。
100a+10b+cは
100a+10b+c＝a+b+c+99a+9b＝a+b+c+3(33a+3b)＝3(33a+3b)+(a+b+c）となるわけです。
ここで、99a+9b＝3(33a+3b)と3でくくるのはこの式が3の倍数であることを説明するためです。
自分ではわかってもそれを説明となると難しいですね。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
「９９」という数字が出てくる式を見ることで本人もピンとくると
思います。
私も久々の数式に出会い、また勉強のし直しです。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2008/09/02 00:25

No.6 回答者： zk43 回答日時： 2008/09/02 01:38

10=9+1

100=99+1
1000=999+1
10000=9999+1
・・・
のように、10、100、1000、10000、…は「9の倍数＋1」で表わせる
ことがポイントですね。
なので、3でくくれもしますが、9でもくくれるので、各桁の和が9の
倍数のときは、元の数は9の倍数であるということもいえます。
9の倍数なら、当然3の倍数でもありますね。
ちなみに、これは超有名な事実でもあります。
ほかにも、似たようなのに11の倍数の判定方法などもあります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
10,100,1000、・・・は「９の倍数+１」という簡単な発想も数学が弱い
私には実は”気付き”に近いことのようです。
zk43さんはじめスッと解ける方が羨ましいです。それを優しくて易しい言葉で説明してくださるので助かりました。

お礼日時：2008/09/02 01:57

No.5 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/09/02 00:36

>この余り１がスッと９９などが出る次のステップの式も導き出せるのですね。

何が言いたいのかよくわかりませんが、多分そうです。

この回答へのお礼

元々数学が苦手なので自分がわかっているところまでを他の方に説明するのも上手くないようです。お気に触ってしまったならごめんなさい。

お礼日時：2008/09/02 01:52

No.4 回答者： hiro001001 回答日時： 2008/09/02 00:21

3の倍数かどうか、すなわち3で割りきれるかどうか知りたいのだから、とりあえず可能な限り 3×□ で表してみる。

（3×□で表せたらその部分は3で割り切れることが確定だから、残りの部分が3で割れればいいよね！という考え方）

　100a → 3×33a + a
　10b → 3×3b + b
　cはどうしようもないのでそのまま

だから、

　100a＋10b＋c = 3×33a ＋ a ＋ 3×3b ＋ b ＋ c

あとは3でくくるだけ

この回答へのお礼

100aの表わし方の式、10ｂの表わし方の式の説明わかりやすかったです。だからそのあと３でくくることが出来るのですね！
ありがとうございました。

お礼日時：2008/09/02 00:33

No.2 回答者： happy2bhardcore 回答日時： 2008/09/02 00:14

＞何故突然33とか出るの？

これは、展開がわからないということでしょうか？それとも、なぜ（33a + 3b）という形にするのかということでしょうか？

展開ならば
　100a + 10b + c
＝(99a + a)+(9b + b) + c
＝(3*33a + a) + (3*3b + b) +c
＝3(33a + 3b) + (a + b +c)


（33a + 3b）という形にするのがなぜか、という質問の場合。

3の倍数ということは、3*nという形にすればいいわけです。この問題の場合、たまたま3をくくりだしたら　3*(33a + 3b)という形になっただけであって、（）内の数字は何でもよいのです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
わからなかったのは多分、展開の点と思われます。
「たまたま３をくくりだしたら」・・・という一文で
とてもスッキリわかってきました！

お礼日時：2008/09/02 00:29

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/09/02 00:07

>「何故突然33とか出るの？」と言われてしまい・・・。

>わかりやすく説明をよろしくお願いします。
100 を 3で割っただけ。33 余り 1

この回答へのお礼

ありがとうございます。
この余り１がスッと９９などが出る次のステップの式も導き出せるのですね。

お礼日時：2008/09/02 00:27