数学

a^2-a+b^2+b+1/2≧0
不等式を証明せよ。
また、、等号が成り立つ場合を調べよ。

{a^2-a+(1/2)^2}+{b^2-b+(1/2)^2}-2(1/2)^2+1/2
でいいのですか？

また他にやり方がありますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/09/18 00:15

>{a^2-a+(1/2)^2}+{b^2-b+(1/2)^2}-2(1/2)^2+1/2

>でいいのですか？

b の係数は書き間違いとして、回答用紙にそう書けば満点がもらえるか、
という意味ならノーです。

No.7 回答者： take_5 回答日時： 2008/09/19 09:57

＞（この問題では使えないが）a＋b＝x、ab＝yと置くと、判別式が必要だが、この変数変換では判別式は不要。

そんなことはなかった。対称式が使えるね。。。。。笑

-b＝mとすると、Ｐ＝2*（a＾2＋m＾2）-2*（a＋m）＋1　‥‥(1)　であるから、a＋m＝x、am＝yとすると、aとmが実数より判別式≧0.　即ち、x＾2-4y≧0.
(1)はＰ＝2*（x＾2-2y）－2x＋1＝（x＾2-4y）＋（x＾2-2x＋1）＝（x＾2-4y）＋（x-1）＾2≧0.
等号は、x＾2-4y＝0、and、x-1＝0の時。この時、（x、y）＝（1、1/4）であるから、a＋m＝1、am＝1/4.
aとmは　t＾2-t＋1/4＝（t-1/2）＾2＝0であるから、a＝1/2、b＝-m＝-1/2.

No.6 回答者： take_5 回答日時： 2008/09/18 13:56

＞また他にやり方がありますか？

ちょつと思いつかないだろうが、面白い変数変換を使おう。。。。笑

条件より、2（a^2＋b^2）-2（a-b）＋1　‥‥(1)とする。
a＋b＝x、a-b＝yとすると、2a＝x＋y、2b＝x-yであるから(1)に代入して整理すると、x＾2＋（y-1）＾2≧0.　従って、(1)において、2（a^2＋b^2）-2（a-b）＋1≧0.
等号成立は、x＝0、y-1＝0の時、即ち、a＝1/2、b＝-1/2.

（この問題では使えないが）a＋b＝x、ab＝yと置くと、判別式が必要だが、この変数変換では判別式は不要。
その理由は、自分で考えてね。。。。。考えるほどでもないか。。。。。笑

No.5 回答者： take_5 回答日時： 2008/09/18 09:43

＞また他にやり方がありますか？

未だ書き込まれてない方法では、判別式という手がある。

そういうように、1つの解法に満足せずに色んな解法を試みる事は、数学の上達には大変良い事。
解法が良いかどうかの問題ではない。

No.4 回答者： unchikusai 回答日時： 2008/09/18 00:24

a^2-a+b^2+b+1/2

=(a2-a+1/4)+(b2+b+1/4)
=(a-1/2)2+(b+1/2)2

(a-1/2)2≧0、(b+1/2)2≧0
統合が成り立つのは、
a-1/2=0
a=1/2
b+1/2=0
b=-1/2 の時。

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2008/09/18 00:20

こんばんは。

a^2　-　a　+　b^2　+　b　+　1/2
　＝　{a^2-a+(1/2)^2}　+　{b^2-b+(1/2)^2}　-　2(1/2)^2　+　1/2
惜しいですね。
符号を１箇所間違えています。

a^2　-　a　+　b^2　+　b　+　1/2
　＝　{a^2-a+(1/2)^2}　+　{b^2+b+(1/2)^2}　-　2(1/2)^2　+　1/2
です。


＞＞＞また他にやり方がありますか？

このやりかたがよいです。


ご参考に。

No.2 回答者： Mnosan 回答日時： 2008/09/18 00:20

問題間違っていませんか？

a^2-a+b^2+b+1/2≧0ではなく
a^2-a+b^2-b+1/2≧0もしくはa^2+a+b^2+b+1/2≧0ではありませんか？

上記、左の場合
{a^2-a+(1/2)^2}+{b^2-b+(1/2)^2}となり、
(a-1/2)^2+(b-1/2)^2から正であることは明らかであり
a=b=1/2で等号成立します