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タイトル通り

"交わる"と"接する"についての定義を知りたいです。
例えば
"曲線 y=x^2 は 直線 x=0 に交わる"といえますか?
それとも
"曲線 y=x^2 は 直線 x=0 に接するが交わらない"が正しいですか?

よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (3件)

>同じ側にあるときは、f(x)とg(x)は接しており、


>反対側にあるときは、f(x)とg(x)は交わっている。

これもだめだと思う.
例えばy=x^3とy=0のケースをどうしますか?
これは普通接するというと思う.
もっといやらしい例だと
y^2=x^3とx=0またはy=0のケースだと
もう直観は働かない.
x^3-x^2-y^2=0とx=0なんかも,接する?交わる?
ということになります.

なお,「同じ側」っていうのも実際はかなり微妙で
もとの質問からははずれるけども,
3次元空間で二つの曲線を考えた場合「同じ側」ってのは
判断できないわけです.

で,どうするかってことですが,一つの一般的な手は
「接する」「交わる」ってのを全部ひっくるめて
「点を共有する」ということにしてしまいます.
そして,その共有点を求めるときに
方程式を解きますが,その解の重複度を,
その点での「交点数」と名づけます.
この交点数が1より大きい場合を
「ばっさり」接するとして
1のときを交わると定義してしまう.
こういう流儀もあります.

実際はこの定義だと大雑把すぎる
特にx^3-x^2-y^2=0とx=0のようなケースに対しては
ちょっと問題ありなのですが,このようなケースに対しては
もっと厄介な議論が必要なので割愛します.

実際問題,結構厄介なんです.
交わるとか接するってのは.
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この回答へのお礼

>y=x^3とy=0のケース~
>こういう流儀もあります.
なるほど、確かにy=x^3とy=0の交点は接線の関係になっています。
そういう意味だと交わるではなく接するの方がしっくりきます。


ある文献に「3次関数のx軸との交わる点は1点もしくは3点のどちらかである。」
との記述がありまして、"交わる"とは割りと一般的に"接する"と区別されているのか?
と思い質問させていただきました。

結果から鑑みると、これら言葉は一般的に定義されている用語ではないように
(定義を任意に決定できるように)感じました。

回答ありがとうございました。

お礼日時:2008/10/07 21:48

 


>1点のみで交わることを接するという表現を用いたと思うのですが

 これは、違う。
y == x^2 とx == 0 は、1点のみで交わるが、接していない。


 f(x)とg(x)が一致せず、かつ共有点を持つとき、
その共有点の前後で、g(x)上の点がf(x)に対して
同じ側にあるときは、f(x)とg(x)は接しており、
反対側にあるときは、f(x)とg(x)は交わっている。

じゃないですか?
 
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この回答へのお礼

確かに、
共有点の前後の傾きをみることで場合わけできそうですね。
大変参考になりました。

お礼日時:2008/10/07 21:35

交わるでも正しいですが、特に交わる場合において、1点のみで


交わることを接するという表現を用いたと思うのですが。
 
 なので、接するが交わらないでは正しい表現ではないのでは
ないでしょうか?

 いかにしても、この場合、接するという表現の方がいいのでは
ないでしょうか。
 

この回答への補足

回答ありがとうございます。
>1点のみで交わることを接するという表現を用いる
とのことですが、
"曲線 y=x・(x-1)^2 は 直線 x=0 に2点で交わる"は表現としては正しいですか?

交わる の定義が理解できれば自分の物にできそうなので、ご教授いただけたら幸いです。

補足日時:2008/10/06 23:09
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この回答へのお礼

すみません、
直線 x=0

直線 y=0
です。記入ミスです。それで考えていただきたいです。

お礼日時:2008/10/06 23:23

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