はじめまして
郡数列がわからないので質問させていただきます。
<問題>
初項1、公差3の等差数列を次のようにわける
|1|4,7|10,13,16|……
(1)第n群の最初の数は?
(2)第n群に含まれる数の和は?
(3)148は第何群の何番目の数?
ところで実はさっきあるサイトで
『ほとんどの群数列は、群の最初の文字の項に注目するとそれらは階差数列になっている』
と書いていました
なので階差数列を率いてのやり方を覚えたいと思っていますので、ご回答の際はどうか階差数列を使っての回答をお願いします。
よろしくお願いします。
A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
#1です。
お礼をありがとうございます。>しかし、Sn=n/2 {An+An+3(n-1)}の、
>{An+An+3(n-1)}がどうしてそうなるのかわかりません・・・
これは等差数列の和の公式を使いました。
下記サイトにわかりやすく解説されていましたので、参考にしてみて下さい。
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/suure … (まとめ2の部分です。)
No.2
- 回答日時:
>ところで実はさっきあるサイトで
>『ほとんどの群数列は、群の最初の文字の項に注目するとそれらは
>階差数列になっている』
>と書いていました
これは事実かも知れませんが,これをそのまま解き方として使うのは
典型的な誤答例です.
解の予想としては十分です.
しかし,それが「第n群の最初の数」となっている保証はどこにもありません.
たとえば,第1群から,第5群までの最初の数を並べた数列
1,4,10,19,31
から,階差をとって,一般項を求めると,
An = (3/2)n(n-1) + 1
となりますが,これが,第6群以降の最初の数も表しているという
保証はどこにもありませんよね?
単なる解の予想でしかありません.
正解にするには,この式が第6群以降も最初の数を表していることを
証明しなければならないのです.
ならば,どうやってそれを証明するかですが,
そもそも問題文が不足しています.
>初項1、公差3の等差数列を次のようにわける
>|1|4,7|10,13,16|……
これだけでは,第n群にいくつの項が入っているか分かりません.
第n群にnコの項が入っているとも考えられますが,
この表現では,次のように,
|1|4,7|10,13,16|19,22,25,28,31|34,37,40,43,46,49,52,55|…
1,2,3,5,8,…と初項1,第2項2,のフィボナッチ数列で区切ることもできます.
ですから,問題文は次のように書く必要があります.
問題
初項1、公差3の等差数列を次のように,第n群にn個の項が入るように分ける
|1|4,7|10,13,16|……
これで,ようやく解けます.
■階差数列を用いた,群数列の最初の数の求め方
(解)
第n群の最初の数をAnと表すことにする.
第1群から,第5群までの最初の数を並べた数列
1,4,10,19,31
から,階差をとって,一般項を予想すると,
An = (3/2)n(n-1) + 1
次に,これが第6群以降も最初の数を表していることを証明しよう.
<証明>数学的帰納法を用いる.
(i)n = 1 のとき,
A1 = 1
より,成立.
(ii)n = k のときの成立を仮定すると,
Ak = (3/2)k(k-1) + 1
ここで,第k群にはk個の項が入っており,元の数列は公差3の等差数列なので,
A(k+1) は Ak に 3k だけ加えたものに等しい.つまり,
A(k+1) = Ak + 3k
= {((3/2)k(k-1) + 1)} + 3k
= (3/2)k{(k-1) + 2} + 1
= (3/2)k(k+1) + 1
これは,n = k+1 のときも成立することを示している.
(i)(ii)より,すべての自然数nについて成立する.
よって,第n群の最初の数は,An = (3/2)n(n-1) + 1
さて,もう気付いていただいたかもしれませんが,
はじめから,<証明>の部分の思考をすれば,予想と証明の2段階に
分けることなく解くことができます.次のようにします.
(解)
第n群の最初の数をAnと表すことにする.
A1 = 1
は明らかである.
また,第n群にはn個の項が入っており,元の数列は公差3の等差数列なので,
A(n+1) は An に 3n だけ加えたものに等しい.
よって,
A(n+1) = An + 3n (n≧1)
したがって,
A1 = 1
A(n+1) = An + 3n (n≧1)
を満たすAnを求めればよい.
A(n+1) - An = 3n は階差数列を表しているから
n≧2 のとき,
An = A1 + Σ_k=1からk=n-1までの和_{3k}
= 1 + (3/2)n(n-1)
これは,n = 1 のときも満たすので,An = 1 + (3/2)n(n-1)
上記のどちらの方法も「階差数列」を用いた解法ですので,
気に入った方を使ってください.
とっても詳しくありがとうございます!
数学的帰納法はまだ習っていないので使えませんが、
必ずしも階差数列になるのではなのですね;
大変勉強になりました。
ありがとうございました!
No.1
- 回答日時:
(1) 郡の最初の項だけを抜き出しと、
1、4、10、19、・・・
となり、この数列の階差は3nとなっていることが分かります。
したがって、第n群の最初の数をAnとしますと、次のようになります。
An=1+Σ[k=1→n-1] 3k =1+3/2 n(n-1)
(2) 第n群の最後の数は、最初の数に3(n-1)を足したものになっています。
また、第n群の項の数はn個ですので、第n群に含まれる数の和Snは次のようになります。
Sn=n/2 {An+An+3(n-1)} =n/2 (3n^2-1)
(3) An≦148<A(n+1) を満たすnを2次不等式から求めますと、n=10が得られ、第10群に含まれることが分かります。
また A(10)=136 ですので、次の式から5番目の数であることが分かります。
(148-136)/3+1=5
従って、148は 第10群の5番目の項であることが分かります。
大変わかりやすく、とても助かりました!
本当にありがとうございます。
しかし、Sn=n/2 {An+An+3(n-1)}の、
{An+An+3(n-1)}がどうしてそうなるのかわかりません・・・
よければまたご回答をお願いします。
たびたび申し訳ございません
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