サイトで最小作用の原理を読んだのですが
途中わからないところがあったので
説明をお願いします
運動方程式にδx(t)という時間の関数をかける。このδx(t)は仮想仕事の原理におけるδxに対応する。つまり一種の仮想変位である。
(-md^2x/dt^2-∂U/∂x)δx(t)=0
そして部分積分を1回すると
∫(m(dx/dt)(dδx/dt)-(∂U/∂x)δx)dt=0
となり
∫(1/2m(dx/dt)^2-U(x))(t)=0
と
∫(1/2m(d(x+δx)/dt)^2-U(x+δx)(t)=0
の変化量となる
と書いてあったのですが、
まず部分積分の計算の仕方がわからないのと
∫(1/2m(dx/dt)^2-U(x))(t)=0
と
∫(1/2m(d(x+δx)/dt)^2-U(x+δx)(t)=0
の変化量
となる理由を教えてください
お願いします
読んだサイト
http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/cgi-bin/pu …
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
最初の問題:
変分と同じように δx(t) を積分するとき、積分の上下限、経路の出発点と終了点においては、
元の経路との差を 0 とするためでしょう。
つまり、∫(-md^2x/dt^2-∂U/∂x)δx(t)dt
=[{(-md^2x/dt^2)・∫δx(t)dt}-∫(-mdx/dt)・(dδx/dt)dt]-∫(∂U/∂x)δx(t)dt
右辺第一項の ∫[t_1→t_2]δx(t)dt は、t_1、においても、t_2 においても、元の経路からの
変位を 0 としているので ∫[0→0]δx(t)dt=0
∴ ∫{m(dx/dt)(dδx/dt)-(∂U/∂x)δx}dt=0
次の問題:
(1/2)m・{d(x+δx)/dt}^2 の式は、(x+δx) を t で微分し、自乗したものに (1/2)m を掛ける
つまり、(1/2)m・{(d/dt)(x+δx)}^2=(1/2)m・{(dx/dt)+(d/dt)(δx)}^2
=(1/2)m・[(dx/dt)^2+2・(dx/dt)・(d/dt)(δx)+{(d/dt)(δx)}^2]
なので、
(1/2)m・(dx/dt)^2 との差が、(1/2)m・[2・(dx/dt)・(d/dt)(δx)+{(d/dt)(δx)}^2] であり、
{(d/dt)(δx)}^2 が微小変位、"δx の二次の量" であるのでこれを省略すると
(1/2)m・2・(dx/dt)・(d/dt)(δx)=m・(dx/dt)・(dδx/dt) となる、ということでしょう。
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