誕生日問題、一人ずつに誕生日を聞いていくとき、ダブリが出るまでの人数の期待値は？

誕生日は365種類ありますが、ここではn種類とします。
同じ誕生日の人のペアを見つけたいとします。
道に歩いている人一人ずつに誕生日を聞いていき、聞き終わった人にはその場に留まってもらうとします。
同じ誕生日の人を見つけるために、聞く人数の期待値は?

2回目でダブリの確率は、1 * 1/n
3回目でダブリの確率は、1 * (n-1)/n * 2/n
4回目でダブリの確率は、1 * (n-1)/n * (n-2)/n * 3/n
k回目でダブリの確率は、
1 * (n-1)/n * (n-2)/n * … * {n-(k-2)/n} * (k-1)/n = (n-1)!(k-1)/n^(k-1)(n-k+1)!
n回目でダブリの確率は、1 * (n-1)/n * (n-2)/n * … * 2/n * (n-1)/n
n+1回目でダブリの確率は、1 * (n-1)/n * (n-2)/n * … * 1/n * n/n

期待値は、Σ[k=2,n+1] k*(n-1)!(k-1)/n^(k-1)(n-k+1)!

を計算して、別の形にしていきたのですが、いいアイデアはありますでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： quaestio 回答日時： 2008/11/02 16:36

別の形にしていきたいとのことですが、Σのない式にしたいということでしょうか？

私にはΣのない式にできそうになかったので、コンピュータでその式のまま計算させてみました。
nと期待値の二乗をプロットしてみると直線に近いので、これから近似値を得る方法では駄目でしょうか？

参考になればいいのですが。

計算結果
n　　期待値
1 2.000000
2 2.500000
3 2.888889
4 3.218750
5 3.510400
6 3.774691
7 4.018139
8 4.245018
9 4.458316
10 4.660216
20 6.293585
30 7.549461
40 8.609113
50 9.543127
60 10.387796
70 11.164713
80 11.887962
90 12.567334
100 13.209961
200 18.398444
300 22.380636
400 25.738098
500 28.696235
600 31.370683
700 33.830147
800 36.119399
900 38.269539
1000 40.303213
2000 56.718899
3000 69.315406
4000 79.934857
5000 89.290830
6000 97.749306
7000 105.527695
8000 112.767655
9000 119.567583
10000 125.999122