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タイトルのままです。

解説に例題
「一辺1の立方体ABCD-EFGHkから相異なる3点を選び
それからなる三角形を作る。
互いに合同でない三角形は3つ作れるが、
それぞれになる確率を求めよ。(センター問題改)」
を使っていただければありがたいです。
大数の1対1を使っているのですが・・・

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A 回答 (6件)

ご質問の問題に関連して、「ビュフォンの針」という有名なパラドックスを思い出しました。

根元事象のとらえかたがはっきりしなかったために、本職の数学者さんたちでさえ、いろんな答えを出してしまったという教訓です。

ご質問とよくにた問題をみつけました。
http://hasegawa.ac/utakata/12kakuritu.html
質問者さんのご参考になりましたら幸いです。

参考URL:http://hasegawa.ac/utakata/12kakuritu.html
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多分明らかになっていらっしゃるだろうとは思いますが、補足です。


三角形の全数は8個の頂点から3個の頂点を選ぶ組み合わせの数になっており、それぞれの組み合わせが選ばれるときの条件はなにもありません。

本来は問題文では「相異なる3点を無作為に選び」というように、条件付けが行われるべきです。そのようにしてはじめて3点の選び方の全てが「確率的に対等(均等)」であることが条件付けられます。

通常、複数個ある色の付いた玉や、文字の書いてある札を選ぶとき等の例のように、「無作為に選ぶ」という言葉を問題文に添えて、あるいは同等の言葉を添えることで、問題の前提を明らかにします。「サイコロを転がす」ときには、6つの面が「無作為」に選ばれることが前提になっており、親切な問題では「目の出方に偏りは無いものとする」という条件が書かれています。

ゆえに質問者様の問題文はそのような意味で条件不足という面があり、あえてどのような条件もはぶいたことは、暗に3頂点の選び方に偏りはない、ことを前提にしていると解釈されるのが自然です。なぜなら偏りの条件は作ろうと思えば多様であるのにあえて何も与えられていないからです。これは回答者の恣意性に任せるのではなく、全ての回答者にとって共通の了解事項となるべき一つの条件、「偏りがない」を暗に仮定しているととらえなさい、と言っていることと同等であり、それによって初めて問題文として意味を成すようになるわけです。
すなわち、No.1さんの回答が問題文の解釈に関して当を得ているわけです。
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例題に、致命的な欠陥が:



その例題は、「相異なる3点を選び」の選び方が
どのようなものであるかについて記述が無ければ、
条件不足のため、問題が成立しない。
改題した際のミスなのだろうが、センター試験に
そんな無茶な出題が無かったことを祈るばかりだ。

質問の「対等性」が、もし「対称性」のことを言っている
のだとすれば、そこにも、この話の延長上の勘違いが:

立方体の対称性から、各頂点が選ばれる確率は等しいと
「推論」してしまったら、それは全く非論理的。
確率の計算をするときには、基本事象の確率については、
考察するのではなく、仮定して合意する必要がある。

サイコロを振って、各目の出る確率が 1/6 づつなのは、
サイコロが立方体であるからではなく、
各目が 1/6 づつ出るようなものを「正しい」サイコロと
定義しているからだ。単に、そう約束したということ。
この問題の「相異なる3点を選び」も、同様だ。
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>...「対等性」を利用して、A点からの21通りについて考えられる



A点という頂点を固定し、他の7頂点から2個を選んで三角形を作る選び方は7C2 = 21 通りあり、重複しません。21通りの選び方はすべて対等です。選び方には何の条件もありません。
上のように解答文にあるという「対等性」ですが、どのような意味でつかわれているのかは、上の切り取られた文章の一部からではわかりかねますが、もし3点の選び方それぞれが皆「対等」であるという意味以外で使われているのでしたら、解答文全体を見なければ読解も解説もできません。
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1.面内にできる直角二等辺三角形の数


各面内に4通り × 6面 = 24個
2.立方体内部を通る対角線を含む三角形の数
対角線の両端点以外の頂点はすべてどちらかの端点に隣り合う(辺で結ばれる)。従って、
対角線4本 × 対角線の一方の端点と辺で結ばれる点3個 × 端点2個 = 24個
3.3辺が面内の対角線だけからなる三角形の数
ある1面を取り、その中に1つの対角線をとる。その対角線の両端点から別の面内に対角線を引いてできる三角形は2個。最初の1面の対角線は2本あるから合計2×2=4個の三角形ができる。その4個の三角形の辺は最初の1面と隣り合う4つの面の対角線を全て含むので、使われていない対角線は、隣り合わない対面にある面内の対角線のみである。対面の対角線を使ってできる三角形も4個だから、全体で合計8個。

さて、1.、2.、3.、それぞれに含まれる三角形はそれぞれの中ではすべて合同である。また、1.、2.、3.は互いに合同でない。
全部で56個の三角形ができるが、その一個一個が選ばれる確率は同等である。なぜなら三角形は8頂点のうち3点を選んで作られる(8C3=56)が、問題文ではその選び方には何の条件もつけていないからである。もし条件をつけるとすれば、三角形の面積で選ぶ確率が異なるとか、三辺の長さの合計で確率が異なる、などとしなければならないが、このように条件のつけかたは一通りではなく、問題文によって与えられていなければ決定できない。従って無条件に点の選ばれ方はすべて対等であるとするのが自然である。

以上から各合同な三角形の選ばれる確率は、
1.24/56 = 3/7
2.24/56 = 3/7
3.8/56 = 1/7

以上のような「対等性」の使い方だととらえましたが、いかがですか。

この回答への補足

解答ありがとうございます。
言い忘れていた私が悪いのですが、
解答では、「対等性」を利用して、A点からの21通りについて考えられる、と言った言及がありました。
その「対等性」は同様の概念ですか?

補足日時:2008/11/24 15:21
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 古典的な確率は、起りうる事象を根元事象に分解し、それぞれの根元事象が起る確率が何々であると仮定して、それを基にして一般の事象が起る確率を導くものでした。

そのときに根元事象に等確率の原理を仮定することが多いのですが、ご質問の「対等性」とは、いかにして根元事象が等確率である仮定が正当化されるかということでしょうか。
 ご質問の例ですと、「相異なる3点を選び」という文言の中に、暗黙のうちに「相異なる3点を選ぶときに特定の3点が選ばれやすいということはない」ことが仮定されています。統計の言葉でいうと、無作為に選ぶということに当たります。(少なくとも学校数学ではそういうルールになっているようです。じゃんけんやルーレットや、赤玉白玉の入った袋という問題などはみなそうでした)
それが正当化される理由は
  (1)立方体の頂点のどの点が選ばれるかは、まったく任意であり、
  (2)問題の対称性から、 (立方体の対称性)
  (3)どの点も、他の点よりも優位に選ばれなければならない理由がなく、
  (4)したがって、どの点も同じ確率で選ばれると考えざるをえない。
ということでしょう。等確率の仮定というのは、積極的に「等確率であるべき」と主張しているのではなく、「これだけしか情報がない以上、等確率と仮定するのが、最も公平かつ中立的であり、誰にでも受け入れられるだろう」という消極的な理由によっています。
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Q高校数学、確率、対等性

1辺の長さが1の立方体ABCDEFGHが図のような位置関係にあるとする。この8つの頂点から異なる3つの点を選び、それらを頂点とする三角形をつくる。
(1)三角形は全部で、何個できるか?また互いに合同ではない三角形は何種できるか?
答え8c3こ、3種類(三辺が1,1、√2のもの1、√2、√3のもの、√2、√2、√2のもの)
(2)これが質問の中心です。
三角形ABCと合同になる確率はいくつか?また、正三角形となる確率はいくつか?
(問題集の方針)
三角形は(1)の解答の通り、全部で、8c3個できるが、これを全事象にとり、全て調べていくのは無理。
しかし、8つの頂点は対等なので、三角形の頂点はAと決めてしまってもよい。すると、残りの2つの頂点は7c2通りで、これならしらべられる。
(疑問)
確率は同様に確からしい全事象をしらべ分母に置き、その中の題意に適するものを分子に置くと理解しております。
三角形の頂点がAに限って調べることで本問の確率が求められるのは対等性からと書いてありますが、よくわかりません。具体的におしえてください。また、三角形の頂点がAに限って調べた全事象は同様に確からしいといえるのでしょうか?

1辺の長さが1の立方体ABCDEFGHが図のような位置関係にあるとする。この8つの頂点から異なる3つの点を選び、それらを頂点とする三角形をつくる。
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Aベストアンサー

組み合わせで考えると、8C3=56で7C2=21で1/8になっていない。なのでAを頂点としたものだけを考えていいのかどうか?ABCとBACをどう考えるの?等々で混乱されているのでしょう。こう考えたらどうでしょう。組み合わせではなく、3つの頂点を選ぶ時、同時に選ぶのではなく、順々に3つを選んでいく。そして、選ぶ順が違えば、同じ組み合わせでも違うものとして観てみる。△ABCと△BACは違うものと見なすわけです。こうして選ばれる8*7*6通りの三角形はいずれも同様な確からしさで選ばれると考える。するとね、Aから始まる三角形は7*6通りある。Bから始まる三角形も同じ数だけある。C~Hも同様。そして対称性からAから始まる三角形について言えること(正三角形の数など)は全てB~Hから始まる三角形についても同じであるはず。ならばAから始まる三角形だけ考えても確率は出そうとなる。で7*6通りを考えるのか?となるが、ここでまた思考を組み合わせに戻す。Aを固定した後、2番目3番目は順番を気にしなくてもよいはず。(逆の順が必ず対であるから)で結局7C2=21通り調べれば求める答えが得られると言うわけです。こういうことに気づくかどうかは慣れの問題です。

組み合わせで考えると、8C3=56で7C2=21で1/8になっていない。なのでAを頂点としたものだけを考えていいのかどうか?ABCとBACをどう考えるの?等々で混乱されているのでしょう。こう考えたらどうでしょう。組み合わせではなく、3つの頂点を選ぶ時、同時に選ぶのではなく、順々に3つを選んでいく。そして、選ぶ順が違えば、同じ組み合わせでも違うものとして観てみる。△ABCと△BACは違うものと見なすわけです。こうして選ばれる8*7*6通りの三角形はいずれも同様な確からしさで選ばれると考える。するとね、Aから始ま...続きを読む

Q元素分析の整数比について。

有機化学で、元素分析の整数比の求め方がわかりません。
問題集で、
C:H:O=53.8/12:5.1/1:41.1/16≒7:8:4 
となっているのですが、なぜこのように近似できるのかサッパリです。
過去の質問に、「一番小さい数で割る」という方法があり、試してみたのですが、うまくいきません。
よろしくお願いします!

Aベストアンサー

53.8/12:5.1/1:41.1/16 とりあえずがんばってわり算します。

4.48 :5.1: 2.57 

ですか。

ここで、3つともながめていてはパニックになりますので、どれか2つをくらべます。

5.1:2.57=2:1

が見えますね。

4.48:5.1を1:1にみるのは少し無理がありますね。ですからこれは無視。

次は4.48を2.57で割ればいいです。(これがあなたが書いておられる一番小さな数で割るという作業です)

4.48/2.57=1.74 ぐらい

つまり、もとの3つの数の比は

1.74:2:1 です

ここで、

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全てに適応した、いい方法があるわけではないですが

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自分で実験して得られた数字の場合は、うまくいくとは限りませんよ。あくまで、テストの問題として出された場合の話です。

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ですか。

ここで、3つともながめていてはパニックになりますので、どれか2つをくらべます。

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が見えますね。

4.48:5.1を1:1にみるのは少し無理がありますね。ですからこれは無視。

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Q平均分子量

平均分子量についてイマイチわかりません。高校生レベルで教えてください。

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>以下の内容は.高等学校で教えているのでしょうか。
>モル凝固点降下.モル沸点上昇.(気体の)分圧.浸透圧
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Q2乗しても同値性が崩れないときと崩れるとき

2乗しても同値性が崩れないときともう一つの解が割り込んできて同値性が崩れるときはそれぞれどのような場合なのでしょうか。よく方程式の両辺を2乗してルートをはずしたり、代入しやすくしたりすると思うのですが、問題をやっていて「ここで2乗してもいいのかな?」といつも迷ってしまいます。このようにならないためにはどのようなことに気をつければよいのでしょうか。

例);2乗してもいいとき

X=-1/2(α+β){[(α+β)^2]-1}・・・(1)
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ここでXとYの関係式を作るために(2)を(α+β)^2=・・・の形にして置いて・・・(2)”、(1)の両辺を2乗して(α+β)^2を作り出しておいてから(2)”を(1)に代入するというものです。

Aベストアンサー

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等式を加減するとき
4.式の一部を他の文字で置き換えるとき

s-wordさんの謎もこれで解決したはず。2乗(平方)したら、同値関係は崩れると思ったほうが良い。代入(加減)も同じ。(もちろん、崩れない場合もある)解決法は、平方の場合は、最初の条件にもどって検討する。代入(加減)の場合は、代入した式に戻って検討する。

ちなみに、7の問題は大変な良問で、いろいろな解法が出来ます。私はパラメ-タaを分離して、解決しました。これは、受験数学のテクニックのひとつで、aとxが伴って変わらくて、しかもaとxを分離することが容易な場合に威力を発揮します。また、xについての二次方程式でもあるので、判別式を利用して解くことも出来るし、さらにs-wordさんの解で、特殊な絶対不等式を使うことも出来る。この絶対不等式は、私は気づきませんでした。問題の型を見た瞬間に、パラメタ分離→微分して調べるという構図が浮かんでしまったからです。某料理会の○皇様が、料理は工夫しすぎるということはない。さらなる工夫をもって精進せいよなどどと言っていたのを思い出しました。まったく数学は奥が深いのう。

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

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QHe is said that he is a great composer.はなぜ、ダメですか?

They say that he is a great composer.の書き換えをしなさいと言われました。It is said that he is a great composer.と、He is said to be a great cmposer.になるのは理解ができます。
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

アメリカに35年ほど住んでいる者です。

困った先生ですね。 言わない物は言わない(だって私はよく知らないんだもの)の括弧の中を言うのを意識的に省いたようですね。 <g>

言わないから言わないでは、文法を習う必要はないと言う事になりますね。 

これは、言わないから言わないのではなく、ちゃんとした理由があります。

It is saidはItでthatいかの事をまとめたと言う事なんですね。 つまり、thatいかの事を言われる、という受動態の形をとっているのです。 ここまでは分かりますね。

でも、he is said that にならない理由は、They said himではないからなんですね。 They told him thatでしたら(意味は違ってきますけど)He was told (by them) thatと変えられます。 saidは自動詞、toldは他動詞だから、この言い方ができるのです。

また、they said thatで日本語的に「彼らは次の事をいった」という意味じゃないんですね。 これで、「次の事として知られている」という熟語的な言い方なんですね。(He)is said to beも彼は次のことを言われている、というより、「次の事として知られている」というこれまた、熟語なんですね。It is said thatも全く同じことです。

だから、he is said thatと言い換えられないわけです。

これでいいでしょうか。

アメリカに35年ほど住んでいる者です。

困った先生ですね。 言わない物は言わない(だって私はよく知らないんだもの)の括弧の中を言うのを意識的に省いたようですね。 <g>

言わないから言わないでは、文法を習う必要はないと言う事になりますね。 

これは、言わないから言わないのではなく、ちゃんとした理由があります。

It is saidはItでthatいかの事をまとめたと言う事なんですね。 つまり、thatいかの事を言われる、という受動態の形をとっているのです。 ここまでは分かりますね。

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Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
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高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Q絶対値の二乗の思考過程 |x-y|^2

絶対値を含む式の二乗を”暗記の結果ではなく、理解して導きたい”です。
以下に私の計算過程における思考過程を文章にしてみましたので
間違い、改善点またはおかしな点などありましたら教えてください。
文章を書くのが苦手なので文章に対する突込みでも、ありましたらお願いします。

◆(|x|+|y|)^2=|x|^2+2|x||y|+|y|^2
1.|x|と|y|はともに正なので二乗しても絶対値の記号は関係ないから二乗するとx^2とy^2となる。
2.2|x||y|は要素が全て正なので結果正となればよいから、2|xy|となる。
3.よって、(|x|+|y|)^2=x^2+2|xy|+y^2

◆(|x|-|y|)^2=|x|^2-2|x||y|+|y|^2
1.|x|と|y|はともに正なので二乗しても絶対値の記号は関係ないから二乗するとx^2とy^2となる。
2.-2|x||y|はマイナス×プラス×プラスなので結果マイナスにならないといけない。
そして、xとyは正負不明なので-2|x||y|を結果としてマイナスにするためには絶対値を
はずしきっちゃうとまずいので、-2|xy|となる。
3.よって、(|x|-|y|)^2=x^2-2|xy|+y^2

◆|x+y|^2=|(x+y)^2|=|x^2+2xy+y^2|
1.xy≧0のとき、(a+b)^2=(-a-b)^2なので、普通に解いて、x^2+2xy+y^2
2.xy<0のとき、・・・お手上げです。どう進めたら良いのかわかりません。

◆|x-y|^2=|(x-y)^2|=|x^2-2xy+y^2|
1.・・・お手上げです。どう進めたら良いのかわかりません。

奇妙な質問ですがよろしくお願いします。

絶対値を含む式の二乗を”暗記の結果ではなく、理解して導きたい”です。
以下に私の計算過程における思考過程を文章にしてみましたので
間違い、改善点またはおかしな点などありましたら教えてください。
文章を書くのが苦手なので文章に対する突込みでも、ありましたらお願いします。

◆(|x|+|y|)^2=|x|^2+2|x||y|+|y|^2
1.|x|と|y|はともに正なので二乗しても絶対値の記号は関係ないから二乗するとx^2とy^2となる。
2.2|x||y|は要素が全て正なので結果正となればよいから、2|xy|となる。
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Aベストアンサー

場合分けの仕方がよくないですね。
単純に、「絶対値の中身が0以上か、0未満か」で分ければいいです。

(1)|x+y|^2について
0≦x+yのとき:
 |x+y|=x+yなので、|x+y|^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
x+y<0のとき:
 |x+y|=-(x+y)なので、|x+y|^2={-(x+y)}^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

(2)|x-y|^2について
0≦x-yのとき:
 |x-y|=x-yなので、|x-y|^2=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2
x-y<0のとき:
 |x-y|=-(x-y)なので、|x-y|^2={-(x-y)}^2=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2

Q不可算名詞は三単現のsをつけるのが普通ですか?

DUO3.0 No404です
The vague rumor proved to be false. Nevertheless, some skepticism lingers on.
上記の二つ目の文章の主語は【some skepticism】ですが動詞に三単現のsが付いています。不可算名詞は三単現のsをつけるのが普通ですか?
よろしくお願いいたします。(他に不可算名詞が主語になっている例文があったら紹介してください。)

Aベストアンサー

こんにちは。4/22のご質問ではお返事を有難うございました。

1.ご質問文の主語skepticismは「無神論」「懐疑論」という主義をあらわす、抽象名詞です。

2.抽象名詞は不可算名詞になります。

3.不可算名詞は数えられません。つまり、単数と同じ扱いになるのです。

4.不可算名詞が主語になる場合、三人称単数の扱いになります。従って、ご質問文の動詞には、三単現のsが付いているのです。

5.Someは「いくつかの」「いくらかの」「ある程度」といった意味を持ち、可算名詞、不可算名詞、両方を修飾することができます。

6.不可算名詞が主語になっている例文:

The sun is necessary for flowers.
「太陽は花に必要だ」
There was much snow.
「沢山雪が降った」

などがあります。
以上ご参考までに。

Q確率で「試行の独立」「事象の独立」2つの関係

確率で「試行の独立」「事象の独立」2つの関係を教えて下さい。

「試行の独立」は、2つ以上の試行が他の試行に影響を与えない場合のこと。

「事象の独立」は、P(A∩B)=P(A)×P(B)が成り立てば独立、成り立たなければ従属。

と書いてあるのですが、この2つはどの様な関係なのですか?

例えば、

「事象の独立」で従属であったとしても、「試行の独立」がある など・・・。

試行の独立は分かるような気がしますが、「事象の独立」あまりよく分かりません。

Aベストアンサー

←No.5 補足
補足質問が2つあるようですね。

(1) 独立でない試行から独立な事象を取り出す例。

そのために、変則的なサイコロの振り方を考えます。
まづ、普通にサイコロを振り、1回目の出目を確定します。
次に、もう一回サイコロを振り、
1回目が偶数で2回目が「1」だったときだけ、
2回目の値を「2」にスリ替えます。

このようにすると、1回目が奇数だった場合は、
2回目の出目を3で割った余りが
0、1、2 である確率はそれぞれ 2/6、2/6、2/6、
1回目が偶数だった場合には、
2回目の出目を3で割った余りが
0、1、2 である確率は 2/6、1/6、3/6 になりますから、
1回目と2回目の出目は、独立でない試行になります。

しかし、この試行から、1回目が偶数という事象と
2回目が3の倍数という事象を取り出すと、
両者は独立になっています。(確率を計算してみて下さい)

もちろん、1回目が偶数という事象と
2回目が3で割ると1余るという事象を取り出せば独立ではない訳で、
独立でない試行間から取り出した事象は、
独立な場合も独立でない場合もあるのです。

他方、独立な試行間から取り出した事象は常に独立です。

(2) 単一の試行から独立な事象を取り出す例。

これは、既に No.1 で間違え、No.3 で訂正したように、
サイコロを一回振って、偶数が出るという事象と
3の倍数が出るという事象が、その例になります。

偶数が出る確率は 3/6、3の倍数が出る確率は 2/6、
偶数かつ3の倍数が出る確率は 1/6 ですから、
(3/6)×(2/6)=1/6 が成立しています。

←No.5 補足
補足質問が2つあるようですね。

(1) 独立でない試行から独立な事象を取り出す例。

そのために、変則的なサイコロの振り方を考えます。
まづ、普通にサイコロを振り、1回目の出目を確定します。
次に、もう一回サイコロを振り、
1回目が偶数で2回目が「1」だったときだけ、
2回目の値を「2」にスリ替えます。

このようにすると、1回目が奇数だった場合は、
2回目の出目を3で割った余りが
0、1、2 である確率はそれぞれ 2/6、2/6、2/6、
1回目が偶数だった場合には、
2回...続きを読む

Q同値性の崩壊

定円x^2+y^2=r^2の周上を点P(x,y)が動くとき,座標が(y^2-x^2xy)で表される点Qはどんな曲線を動くか。

x^2+y^2=r^2から,P(x,y)とするとx=rcosΘ,y=rsinΘと表される。Q(X,Y)とすると
X=y^2-x^2=-r^2cos2Θ
Y=r^2sin2Θ
よってX^2+Y^2=r^4(cos^22Θ+sin^22Θ)=r^4
ゆえに,点Qは円x^2+y^2=(r^2)^2の周上を動く。

教えてほしいところ
この問題を解き方が違和感があります。
X=y^2-x^2=-r^2cos2Θ
Y=r^2sin2Θ
を両辺正でなければ2乗してしまうと同値性崩れますよね?
また、2乗したものをそのまま足す場合、同値性は崩れる心配はないんですか??
この問題を上のように解いて、同値性が崩れる心配がないもしくは同値性が保たれるのは自明である理由を教えてください。

Aベストアンサー

円x^2+y^2=r^2を円A,円x^2+y^2=(r^2)^2を円Bとする。
点P(x,y)が円Aの円周上をぐるぐる回って、それに応じて点Qが決まる。
その回転が左(右)回りならx=rcosΘ,y=rsinΘのΘが増加(減少)するということなので、Θは実数全体を動く。
点Q(X,Y)のX=-r^2cos2Θ,Y=r^2sin2ΘのΘはPの座標を決めるΘによって決まるΘなので,こちらも実数全体を動く。
このことから、ある点T(x,y)についてx=-r^2cos2Θ,y=r^2sin2Θなら点Tは点Qであるといえる。

質問の同値性を示すには、円Bの円周上の任意の点は点Qである、ということが証明できればよい。
流れだけいうと、円Bの円周上の点x=r^2cosΘ,y=r^2sinΘ,からx,yを上の形に変形できればよい。変形については回答3が参考になる。


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