放物線運動についての計算式

高さhのビルの上から質量mのボールを初速v、水平面からの角度θで投げ出したとします。ボールが地面に着いた時のx軸方向の到達距離Lは

L=v^2cosθ{sinθ+(sin^2θ+2gh/v^2)^1/2}/g

で与えられます。ですが、このLが最大となるときのθが求められません。答えによると

θ=tan^-1{v/(v^2+2gh)}

となるようですが、どのように式を変形してゆけばいいのでしょうか？上記の式をtanθに書き換えてみたところ6乗の式になってしまい、まいってます。お時間があるときで構いませんので、何卒よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2008/12/13 09:47

Lをθで微分します。

簡単のためC=cosθ，S=sinθ，H=2gh/v^2と書きます。
dL/dθ=-v^2S/g{S+√(S^2+H)｝+v^2C/g{C+SC/√(S^2+H)}
見通しをよくするために，R=√(S^2+H)とおきます。
-g/v^2・dL/dθ=S(S+R)-C(C+SC/R)=S^2+RS-C^2+SC^2/R=0
整理すると，SR^2+(S^2-C^2)R-SC^2=0
因数分解して，(SR-C^2)(R+S)=0
∴SR=C^2
すなわち，S√(S^2+H)=C^2
2乗して，S^2(S^2+H)=(1-S^2)^2
整理すると，S^2=1/(2+H)
を得ます。あとはおわかりですね？

この回答へのお礼

式変形だけでなんとかなるものだと思い込んでいました。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/12/13 22:56

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/12/13 01:58

ヒント）

水平方向の運動：等速度運動で
V_x=v*cosθ
x=V_x*t=v*t**cosθ

垂直方向の運動：等加速度運動で
上向き加速度:-g　（力：-mg）
上向き速度:V_y=v*sinθ-gt
上向き距離y=v*t*sinθ-(g/2)t^2

そしてボールが地面に届く時間をt=toとおくと
v*to*sinθ-(g/2)to^2=-h
そしてt=toで
L=v*to*cosθ
=(v^2*sinθcosθ/g)+(v/g)*cosθ√{(v*sinθ)^2+2hg}
Lの最大値は
dL/dθ=0となるθ=θ_maxで L=L_maxとなる。
ここからθ_maxやL_maxが求まります。

少し計算してみてください。

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2008/12/13 01:12

Ｌの式があっているか知りませんが、単にθで微分すればいいんじゃないでしょうか？

めんどくさそうなので確かめてませんが