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いつだったかの数学の教科書に

「4本足のイスは、不安定になりガタガタなることがあるが、3本足のイスはガタガタすることはないのはなぜか?」

といったような問題がありました。

言われてみればそのとおりなんですが、これは数学的にはどんな答えになるんでしょうか?
長い間の謎でした。

A 回答 (7件)

空間において,3点がいずれも重なっていない条件の時,3点を通る平面(これが床になりますね)は必ず存在する.


だから3本足のイスは,たとえ斜めになっていてもガタガタしません.

しかし,4点を通る平面ということになると,4点目が他の3点を通る平面上になくてはいけません.
ですから,4点目が他の3点を通る平面上にあれば4点とも1つの平面上(床)にありますから,イスはガタガタしません.
4点目が他の3点を通る平面上になければ,1点だけ浮いた状態になるためイスはガタガタします.

つまり,「空間において3点を通る平面は必ず存在するが,4点を通る平面が必ず存在するとは限らない」ということになります.
いかがでしょうか.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

落ち着いて考えればわかることなのかも知れないのですが、そこまでのアタマが・・・。

お礼日時:2003/01/28 20:58

まったく別の場所に原点をとり


XYZの直行座標系を考えると
平面の式は
ax + by + cz = 1
となります。(厳密には原点を通らない任意の平面)

でここに3点の座標を
(x1,y1,z1)(x2,y2,z2)(3x,3y,3z)
が満たすように a,b,c を定めることはできるが
(連立方程式になる)

(x4,y4,z4)が追加されると連立方程式が
解なしになる場合がでます。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
座標で考える事までは気付きませんでした。

お礼日時:2003/01/28 21:11

平面にイスを置いたとき、イスのそれぞれの足の先端が地面との接点になります。

異なる3つの点を結ぶと必ず1つ平面ができます(数学的)。そのため、地面(平面)にイスを置くには3点で十分です。
ここで4つ目の点(足)が出てきた場合、この平面状に4つ目の点があった場合はいいのですが、少しでもずれていると、この4点では平面を形成することができなくなります。イスの製造過程で厳密に4点で平面を作れれば問題はないですが、そんなことは難しく、結果として、4本足のイスはガタガタするということになります。
ただ、『安定』と『ガタガタしない』は厳密には別です。
例えば4本足のイスの足を1本取って3本にしてしまっても、ガタガタはしませんが、安定して立っていることはできません。
これは、このイスの重心がこの3点の三角形の中に入っていないため、倒れてしまうのです。
「安定」という話であれば、地面についている点を結んだ面積の大きさ(3本足のイスは三角形、4本足のイスは四角形)と、その物体の重心の「位置と高さ」で決まることになります。物体の重心は先の図形の重心に近ければ近いほど、低ければ低いほど安定します。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
確かに「ガタガタ」と「安定」は別モノですね。
平面としてとらえればよかったんですね。

お礼日時:2003/01/28 21:08

数学的とはいいにくい答えですが、


空間にある3点を含む平面は必ず存在するが
4点の場合、これを全て含む平面が存在するとは限らない。

ということではないでしょうか。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
言われてみればその通りですね。
またよろしくお願いします。

お礼日時:2003/01/28 21:02

いろいろな考え方がありますが、広く使用されている説明は、幾何学です。


「直線上ではない任意の3つの点を含む平面は、ただ1つだけ必ず存在する」
逆に言うと。平面に対して3つの点は、必ず1つの位置(状態)で接するというわけです。
これが4本足になると、「直線上に3つ以上の点が無い」という前提で、
任意の4つの点を含む平面は、ただ1つ存在するか、または絶対に存在しない」となります。
実際には1ミリとかそれ以下のすきまは分からない床や足の構造ですけど、理論的には4つの足の先端が平面の床に同時に4個接するのは奇跡という事になります。
ちなみに、これはユークリッド幾何学ですが、私たちの生活する空間ですからユークリッド幾何学でOKです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
「ユークリッド幾何学」は初めて聞きました。
もっと勉強する事にします。

お礼日時:2003/01/28 21:00

「平面」の最小構成が、三角形だからです。



逆に言えば一直線上にない3点は必ず「平面」を構成することになります。
んで、安定するんですね。

4本足で4本の足の先が1平面上に無いと
「三角形2つ」の2平面を行ったり来たりするおでガタガタするのです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

なるほど~。
詳しい解説ありがとうございます。

お礼日時:2003/01/28 20:54

数学的に言えば、



3つの任意の点を包含する1つの平面は常に存在するが、
4つの任意の点を包含する1つの平面は必ずしも存在しない。

と、いうことだと思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

これは、何かの法則なんでしょうか。
意外と難しい答えなんですね。

お礼日時:2003/01/28 20:44

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Q多点吊りの天秤について

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(3)天秤への荷重
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 (或いは左から 7.5 tonf 、15 tonf 、10 tonf、7.5 tonf、2.5 tonf のように)

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 を使用することは、普通にあることでしょうか?

Aベストアンサー

手前味噌で申しわけありません。
SI単位・単位等を部分省略します。

〇上ロープの検討
 4本4点吊りを採用(ロープは、ワイヤーロープとする)
 専用吊天秤(短期)を使用し、クレーンにより荷を吊り上げ据付ける。
 衝撃荷重を考慮 ψ=1.3 (ジブクレーン)
 吊り荷の偏荷重を考慮しない γ=1.0(する場合 γ=1.5)
 工事途中の地震及び風荷重の横荷重は考慮しない。(考慮する場合は、それぞれの参考文献より付加ください。)

 Ws = W × ψ × γ ( W : 上ロープから下に吊り下げる全重量で、吊り荷+吊天秤+下ロープ+シャックル+調整機具類+安全設備+介錯ロープ等の総重量)
   = W ×1.3×1.0

http://www.wirerope.jp/wirerope/tamakake.html

Ws = ( T × n ) / ( F × K ) から 式を変形し

 T = ( Ws × F × K ) / n

K : ロープ張力係数 (対角ロープがなす角度 60度 = 1.16 )
F : 安全係数 ( = 6 )
n : 吊本数  ( = 4  4点× 直吊 =1.0 )
T : ロープの破断荷重(t)

T = (W ×1.3×1.0×6×1.16) / 4
= 2.262 × W

 上記のTの破断荷重からワイヤーロープを選定する。
 
 W が 47tと仮定すれば、T = 106.3 (t)となり、先ほどご紹介のHPにある表を用いれば、
 破断荷重 1110KN / 9.8 = 113.3 ≧ T = 106.3  ( 6×24 46mm A種 長さ〇mm )が4本 になります。

検証)
http://www.wire-rope.jp/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%A4%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%97%E5%AE%89%E5%85%A8%E8%8D%B7%E9%87%8D%E8%A1%A8/

 上記のHPにある4本4点吊りの安全荷重(通常玉掛索)で、先の得られたロープの値を検証する。

 S = ( B ÷ 6)×( 3 ÷ K)
= ( 113.3 ÷ 6) × ( 3 ÷ 1.16 )
= 48.8 (t)  

S : 安全荷重 (HPはWとあり、上記からWは既出で使用されているため置き換えました)
 B : ロープ破断強度 ( 6×24 46mm A種 = 1110KN = 113.3t )
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