楕円の回転体の体積について

楕円 m x^2 + n y^2 = A　をX軸のまわりに回転させて得られる回転体の体積を求めたいのですが、どうすればいいのでしょうか？
助言おねがいします。

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/01/05 00:23

x=kで切った断面の面積を求めて、それを積分すればいいかと

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/01/05 00:41

楕円なのでm>0,n>,A>0とし

A/m=a^2,A/n=b^2…(A)と置くと楕円の標準形
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
になります。
楕円のX軸の周りの体積Vは回転体の体積の公式から
V=π∫[-a,a]y^2dx
=2π∫[0,a]b^2{1-(x^2/a^2)}dx

これは簡単に積分できますね。
積分後(A)の関係式からa^2,b^2を出して代入すれば答がでます。

あとは自力で出来ますね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

自分で解いてみたのですが、いま一つ納得できる答えが得られませんでした。

本来の問題は　4 x^2 + 9 y^2 = 36　なのですが、
a=3 , b=2　積分結果が約12π（≒970π/81）
という結果でした。

お恥ずかしい話なのですが、積分が全くと言う程できないのです。
誤りがあれば指摘していただければ嬉しいです。

お礼日時：2009/01/05 21:23

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/01/05 11:13

回転楕円体になるから, 3軸の長さがすべて分かれば球の体積から計算できる.... 積分する必要もないけど反則?

No.4 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/01/05 23:30

一応 #3 を訂正しておくと, 今の場合は回転楕円体だけど一般には楕円体で OK. まあ, いずれにしても「3軸の長さ」がわかれば体積は積分するまでもないんだけど.

4x^2 + 9y^2 = 36
ってことは x軸方向の長さが 3, y軸方向が 2 ですね. これを x軸まわりに回転させるから z軸方向は y軸方向と同じく長さ 2. 従って体積は
(4π/3)×3×2×2 = 16π
のような気がする.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
確かにこの方法なら積分をしなくても体積が求められますね。
それになんとなくですが理解もできました。ありがとうございました

お礼日時：2009/01/06 00:11

No.5 回答者： info22 回答日時： 2009/01/06 02:28

#2です。

A#2の補足
>積分が全くと言う程できないのです。
そうですか？

V=2π∫[0,a]b^2{1-(x^2/a^2)}dx
　=2πb^2[x-(1/3)x^3/a^2] [0,a]
=2πb^2(2/3)a
=(4/3)πab^2
>本来の問題は　4 x^2 + 9 y^2 = 36　なのですが、
x^2/3^2+y^2/2^3=1
>a=3 , b=2　
これを上のVに代入すると
V=(4/3)π*3*2^2=16π
>積分結果が約12π（≒970π/81）
なので、これは間違いで、他の回答者の答にもありますが
V=16π
が正確な答です。

積分も出来るようにして下さい。

この回答へのお礼

何度も回答を頂き恐縮です。
積分は苦手ですが自分の力で出来るようになるまで頑張ります。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/01/06 19:45