可算無限集合Aの濃度をα_0(アレフ0)
R^nの濃度をα_1(アレフ1) (nは自然数)
Aの冪集合の濃度を2^α_0(2のアレフ0乗?)
※ヘブライ語のアレフの代わりに、αを使って記述してます。
なので以下αはアレフと読むことにします。
このとき
(1)α_0よりα_1のほうが"大きい"こと
(2)α_0より2^α_0のほうが"大きい"こと
の2つはわかったのですが、α_1と2^α_0ではどちらが大きいのですか?
それとも2^α_0=α_1なのでしょうか?
私の記憶では、α_1はα_0の次に"大きい"濃度と定義されていたような気がしますが・・それだとα_0より大きくα_1より小さい濃度は存在してはいけないことになりませんか?(つまり、α_1>2^α_0の可能性はない)
来年度に数学科2年となる身なので、あまり高度な知識は持ち合わせていないです・・。すいません。
どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いします。
[補足]
(1)については
Aが可算(自然数全体の集合Nとの間に1対1かつontoな写像ができる)である一方で、Rは対角線論法により非可算なので、α_0よりα_1のほうが"大きい"としました。(RとR^nの濃度が等しいことの証明は省略します)
(2)については
Aの冪集合の濃度、つまり元の個数を、Aの各元を含むか含まないかを1と2に対応させることで、小数0.122111222121122・・・・・の総数へと帰着し、あとはこの小数全体に対して対角線論法を用いることで、α_0より2^α_0のほうが"大きい"としました。
「Aの各元を含むか含まないかを1と2に対応させる」とは、
たとえば、A={1,2}であればAの冪集合の濃度(個数)は2^2=4個ですが、これを
0,22⇔Φ(空集合)
0,12⇔{1}
0,21⇔{2}
0,22⇔{1,2}
というように小数に対応させるということです。
"大きい"という言葉の定義をしてないのでこの表現が曖昧かもしれませんが、上記のようにして"大きい"かどうかを判断しました。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
定義が違っています。
正しくは
アレフ0=可算無限の濃度
アレフ=実数全体の濃度=2^アレフ0>アレフ0
アレフ1=最小の非可算濃度
「アレフ1=アレフ」を連続体仮説と言います。
否定も肯定も証明できません(どちらもモデルを作ることができます)。
お二方とも回答ありがとうございます!
回答にあった、連続体仮説という言葉を今までいろいろ調べてみたのですが、残念ながら私には理解できないところがとても多くありました。
でも、公理に近いもの(証明不可能)なのかな?ぐらいの感覚は持ちました。(←この発言自体間違ってるのかも知れませんが、私にはそれもよくわかりません・・・。)
まだまだ知識がたりないようです。もう少し勉強してからまた考え直してみようと思います。
わざわざ回答していただきありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
「R^n の濃度 aleph が aleph1 であるかどうか」は「連続体仮説」(Continuum Hypothesis, CH) と呼ばれ, ZFC 公理系のもとで決定不能じゃありませんでしたっけ?
それを大前提として, aleph1 は定義から aleph0 の次の濃度であり, また R^n の濃度は 2^aleph0 であることが分かってますから, 「R^n の濃度を aleph1」としたら自動的に aleph1 = 2^aleph0 です. もちろん, いわれる通りいかなる仮定のもとでも aleph1 > 2^aleph0 はあり得ません.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 回答の意味について 4 2023/07/11 11:19
- 数学 ある方から頂いた回答について 1 2023/07/10 11:34
- 数学 回答の意味について 3 2023/07/06 14:14
- 数学 代数学でわからない問題があるので教えてください。 X:濃度nの有限集合 X上の演算を持つ代数系は何個 2 2022/11/13 06:03
- 数学 実数同士の対応における対角線論法について 6 2023/07/08 17:01
- 化学 化学が得意な方に質問です。この問題の正解を教えて欲しいです。 【問題1】Log Kowの記述について 1 2022/09/26 23:44
- 数学 実数同士の全単射写像について 2 2023/07/05 17:12
- 数学 質問の意味がわかる方だけに回答をお願いします。 1 2023/07/19 12:19
- 数学 代数学でわからないところがあるので教えていただきたいです。 S={x,y,z}を濃度3の集合とする。 3 2022/11/13 06:05
- 小学校 食塩水問題です 4 2022/12/09 18:31
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
「無限の一つ前の数字は何?」...
-
無限に1を引くとどうなりますか?
-
無限より大きい何か
-
逆写像の求め方
-
Vをn次元実ベクトル空間、ΓをV...
-
分数関数についての質問です。...
-
無限は実在しますか?
-
無限順列に対して無限組合せを...
-
逆関数 高校数学にて y=x^2+2x+...
-
集合の濃度
-
続きです。合成関数の定義域と...
-
合成関数の定義域につきまして
-
高校数学の関数について 値域や...
-
合成関数について
-
複素数 実数 集合 濃度
-
開集合がコンパクトでない理由
-
逆関数に虚数は含まれない?
-
全射の個数を求める問題
-
0.999999・・・無限と1とはどう...
-
tanxが全射であることを厳密に...
おすすめ情報