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理論的な断熱圧縮の場合、気体の状態方程式からPV^κ=constと求められPとVの関係が示されていますが、他の方から質量保存の法則を使用して求めるのは、なぜ正確ではないのか質問をもらって答えることができませんでした。
(質量保存の法則より、断熱過程で質量一定としてV×ρ=const)

調べてみると「質量とエネルギーの等価性」から、系において保存されるのは「質量の総和」ではなく「質量とエネルギーの総和」であることが示され。とありますが、なぜ質量保存の法則が成り立たないのか、上記のPV^κ=constの場合質量はどのように考慮されているのか?お教えいただきたく、お願いします。

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A 回答 (2件)

No1さんの御指摘の通りVρ=constからはPV^γ=constはでないのではないでしょうか。



また通常の導出では以下のとおりです。
dU=dQ-PdV...(1)
断熱でdQ=0から
dU=-PdV...(2)
ここでガスが理想気体とすると、内部エネルギーは温度のみに依存し体積に依存しないので、いかなる変化についても次のようになります。
dU=CvdT...(3)
(2)=(3)とおいて、Pに理想気体の状態方程式P=nRT/Vを適用して整理します。
CvdT/T=-nRdV/V...(4)
となります。あとはこれを積分するだけです。
理想気体についての計算をしていますから、(∂U/∂V)_v=0, PV=nRTが成立していることが前提です。質量の保存よりももっときつい縛りの条件のもとでの式のはずです。逆にこの理想気体の断熱圧縮という意味では正確な式が出されます。

さて以下は次のようになります。
(4)を(Ti,Vi)→(Tf,Vf)の範囲で積分し、c=Cv/nRとおけば、
VfTf^c=ViTi^c...(5)
となるので、T=PV/nRを入れてやり1+1/c=γとおけば
PfVf^γ=PiVi^γ...(6)
断熱可逆圧縮で系になされる仕事はCvΔTですから
CvΔT=CvTi{(Vi/Vf)^(γ-1)-1}...(7)
になります。外からエネルギーが入ってきて温度があがります。これで内部エネルギーが上昇します。今の例でエネルギー保存が[系+系の外界]についてなら自明の話、系についてならエネルギー保存はしていません。
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●「質量保存の法則より、断熱過程で質量一定としてV×ρ=const」


 この場合、ρ;密度=M(質量)/V(体積)のことでしょうから、圧力Pと体積Vの関係を与えるものではないですよね。
 <なぜ『正確』ではないのか>以前の問題で、圧力Pと体積Vの関係とは全く『筋違い』じゃ有りませんか?
 V・ρ=const;このconstは任意定数ではなく質量Mですね。
  ρ=M/V ⇔ V・ρ=M  
 これだけからはどこからも『圧力P』とはつながりませんね。

●「質量保存」は・・・
 PV^κ=const
 自体が理想気体を前提として求められており、途中で粒子数やその質量が変化したら成り立たない式です。熱的な現象が粒子数やその質量を変化させるほど大きなものではない、という意味で質量保存は自明のことですね。断熱的な変化の前後で『粒子数、その粒子の分子量は変わっていない』事が前提ですから。
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