半径r、質量Mの半円板を円板平面平行に円の中心を回転軸として微小振幅で振り子運動をさせる。このときに

半径r、質量Mの半円板を円板平面平行に円の中心を回転軸として微小振幅で振り子運動をさせる。このときに質量Mの質点2つを追加するならどこに追加したら一番周期が長くなるか数式も含めて教えてください

No.4 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2023/08/11 16:27

この問題は物理振り子の問題としてたいがいの力学署にあります。

その小振動の周期は
T=√(I/(ｍｇｈ))　です。
I：回転軸の周りの慣性モーメント
ｍ：回転体の質量
ｈ：回転体の重心の回転軸からの距離
ｇ：重力加速度

もしここであなたがいう直線Lを鉛直線のまわりに小振動させたいというのであれば2つのMをLに対称に配置する必要があるし、上式のIを最大にしたければ　その2つを半円板のふちにもってくればよい、
しかも上式のｈを最小にするには結局2つのMを半円板の両肩の端に
もってくればよいということになると思うがどうでしょう？

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/10 17:46

> 半径r、質量Mの半円板を円板平面平行に円の中心を回転軸として微小振幅で振り子運動をさせる。

　もしかして、図で与えられた問題を言葉で説明しようとして、ご自身で文を書いてみたんでしょうかね。
　残念ながら、問題の設定が説明できていない。いやそれ以前に、「半円板」だの「円板平面平行に」だの、「円の中心を回転軸として」だの、「質点2つを追加する」だの、意味不明の文言だらけです。

この回答へのお礼

わかりづらくて申し訳ありません。
画像を添付した質問をあげなおさせていただきますので回答をよろしくお願いいたします。

お礼日時：2023/08/10 18:28

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/10 17:40

数式云々以前に、定性的にどうなるとお考えですか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
結論として、弧と断面の交点に1つずつになるかと思います。

根拠としては回転の運動方程式を考えた時に力のモーメントは小さく、慣性モーメントは大きい方が角速度が小さくなる。つまり周期が長くなる。

そこで、力のモーメントは回転軸からの距離に比例するのに対し、慣性モーメントは距離の２乗に比例するので慣性モーメントを最大化すると良いと思われる。なので、弧のどこかになるのかと思いました。

次に具体的に弧のどこが良いのかと考えたときに、よくわからないです。
力のモーメントが小さくなることを考えると打ち消してもらえるのが一番だなと思い、重心と回転軸を結ぶ直線L（半円を２等分する直線）に対して対称の位置関係だといいのかなと思いました。

そこで力学的エネルギー保存則を考えて、鉛直方向に対して直線Lが角度θになるまで傾けて静かに離した時と、その後直線Lが鉛直方向と平行となった時で等式を考えたらいいのかなと思い、その計算していてわからなくなりました。

上記の一つずつになるといいと書いたのは2つを直線Lと孤の交点においた場合、力のモーメントが最小にならなさそうだったので直線Lから遠くすればいいんじゃね？と思いました。
でも、力のモーメントを考えるなら2つの質点の重力が作る成分が回転軸に平行な成分が大きい方がモーメントが小さくなると思うので直線Lと孤の交点に2つ置くが正解なのかなとも思っています。

よろしくお願いいたします。

お礼日時：2023/08/10 19:05

No.1 回答者： HarleyQuinn 回答日時： 2023/08/10 14:14

ch3-

この回答へのお礼

yhr2さんへの返答の追記に使わせてもらいます。

最後の
＞ でも、力のモーメントを考えるなら2つの質点の重力が作る成分が回転軸に平行な成分が大きい方がモーメントが小さくなると思うので直線Lと孤の交点に2つ置くが正解なのかなとも思っています。

回転軸に平行ではなく、直線Lに平行の間違いです。

改めて考え直すと、直線Lと孤の交点に2つともおいた方が全体として重心が回転軸から遠くなっていいのかなと思い直しました。

お礼日時：2023/08/10 19:32