平行四辺形の問題です!

1組の対辺が等しく、1組の対角が等しい四角形が必ずしも平行四辺形にはならないということを証明したいのですが、分かりますか?

No.8 回答者： kenjoko 回答日時： 2009/03/09 01:35

No.５です。

∠Ｑ＝∠Ｒ ではなく
∠Ｑ＝∠Ｓ　でした

No.7 回答者： kenjoko 回答日時： 2009/03/09 01:23

No.５です。

No.３の説明で目から鱗が落ちました。数学ってとても面白いですね。

私もチャレンジしてみました。

まず、ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形を描く。

次に、辺ＢＣ上に点Ｄをとる。
このとき、ＤはＢとＣ、ＢＣの中点以外にとる。

三角形を直線ＡＤで切断すると、ＡＢＤ，ＡＣＤの三角形が出来る。
三角形ＡＢＤのＡ，Ｄと三角形ＡＣＤのＤとＡをそれぞれ重ねる。

この図形を元の点ＡをＰとして、四辺形ＰＱＲＳとすると、

ＰＱＲＳは、∠Ｑ＝∠Ｒ，ＰＱ＝ＲＳであるが平行四辺形ではない。

No.6 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/03/09 01:04

　＃２／＃３です。

　もっと簡単な方法が見つかりましたので、お知らせします。

　正三角形ＡＢＣで、辺ＡＢ上にＡＥ＞ＢＥとなるように点Ｅをとり、辺ＡＢ上にＣＥ＝ＣＥ’となるように点Ｅ’をとります。
　線分ＢＥと線分ＢＣを２辺とする平行四辺形を描き、残りの頂点を点Ｄとします。
　△ＣＤＥを点Ｃを中心に、辺ＣＥが辺ＣＥ’に一致するように回転してできる三角形を△ＣＤ’Ｅ’とします。

　これにより、四角形ＢＣＤ’Ｅ’ができますが、これが題意
　　∠Ｂ＝∠Ｄ’　かつ　ＢＣ＝Ｄ’Ｅ’
を満たす平行四辺形ではない四角形になります。

No.5 回答者： kenjoko 回答日時： 2009/03/09 00:31

四角形ＡＢＣＤが平面の場合、1組の対辺が等しく、1組の対角が等しければ、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形以外考えられません。

もし、点ＡＢＣＤが同一平面上になくともいいのであれば、

例えば、∠Ａ＝∠Ｃ，ＢＣ＝ＤＡの長方形を対角線ＢＤに関して折り曲げると、平行四辺形になりません。

これは一休さんの世界ですね。

No.4 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2009/03/09 00:05

＞こういった図形は四角形といえるのでしょうか。

　と来るだろうと予想はしてましたが、ひねくれモノでいけませんね。
　四角形とは、ひとつの平面上で４つの線分で囲まれた図形（、4つの頂点と辺を持つ多角形）ですから、これも純然たる四角形です。中学校までではでてこないのですが、実は中学校までに習う四角形は【特殊なもの】だけなので、思いつきませんよね。
　最も特殊な四角形から順番に行くと・・・ここまで書いてあまりに複雑なので
【参考サイト】
四角形の分類：四角形 - Wikipedia
　 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E8%A7%92% …
の図に任せましょう。
　見なれない四角形は、凹四角形とねじれ四角形ですね。

No.3 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/03/08 23:45

　＃２です。

　補足を拝見しました。
＞余弦定理以外でも証明ってできますか?

　得られた関係を満たす図形（ｂ＋ｃ＝２ａcosθ）を描いてはいかがですか？
　この図形が題意を満たすことが確認できれば、反例になると思います。

　たとえば、定規とコンパス、分度器を使って次のように描いた四角形は平行四辺形ではない題意を満たす図形になります。

１）　ある長さの線分ＡＢを描いてください。
２）　点Ａから、線分ＡＢとの角度が６０°になるように半直線を引いてください。
３）　コンパスで線分ＡＢの距離をとって、点Ａを中心に２）で描いた半直線と交わるように弧を描いてください。この時の交点を点Ｐとします。
４）　線分ＡＰ上の任意の場所に点Ｄをとってください。
　このとき、点Ｄは点Ａ、点Ｐに重ならないようにしてください。
５）　点Ｄを中心として、線分ＡＢと同じ長さを半径とする円を描いてください。
６）　点Ｂを中心として、線分ＰＤと同じ長さを半径とする円を描いてください。
７）　５）と６）でできた交点のうち、直線ＡＢに対して点Ｐと同じ側にある交点を点Ｃとしてください。
８）　以上でできた４頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを結んでできた四角形は、題意を満たす平行四辺形ではない図形になります。
　　（確認として、∠Ｃを分度器で測ってください。６０度になっているはずです。）

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/03/08 22:15

　余弦定理を使っても良いですか？

　１組の等しい対辺の長さをａ、他の辺をｂ、ｃとし、１組の等しい対角の大きさをθとしますと、余弦定理から、対角線について次の関係が得られます。

　　a^2+b^2-2ab cosθ＝a^2+c^2-2ac cosθ
　⇔(b-c)(b+c-2a cosθ)＝０
　∴b＝c　または　b+c＝2a cosθ

　ここで、ｂ＝ｃですと平行四辺形になっていまいますので、この条件を捨てます。
　すると、次の条件が成り立つときに題意を満たす四角形ができることになります。

　　ｂ＋ｃ＝２ａcosθ

　ちなみに、この式をみますと、左辺は正ですが、右辺はθの値によって符号が変わります。
　その点に注意しますと、０＜θ＜π/2　でなければ題意を満たすことができないことが分かります。

　従って、１組の等しい対角が鋭角であれば与えられた条件を満たす平行四辺形以外の四角形が存在しますが、直角もしくは鈍角の場合は存在しないと言えます。

この回答への補足

ありがとうございます。
余弦定理以外でも証明ってできますか?

補足日時：2009/03/08 22:42

No.1 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2009/03/08 21:45

反証をひとつ挙げればすむことではあるのですが・・・

この回答への補足

すいません。ふと思ったのですが・・・
こういった図形は四角形といえるのでしょうか。
お答お願いします。

補足日時：2009/03/08 22:37

この回答へのお礼

こういった図形は思いつきませんでした。
図形の画像もつけていただきありがとうございます。

お礼日時：2009/03/08 22:04