900と1080の公約の個数を求める問題

900と1080の公約の個数を求める問題で苦戦しています。
回答を見てみたものの、因数分解（？）をするまでは理解できたのですが、
その後が分からなくて困っています。

解説より
９００＝２の二乗×３の二乗×５の二乗
１０８０＝２の三乗×３の三乗×５
公約数の個数は、３×３×２＝１８（個）
と書かれています。

因数分解（？）の後の３×３×２という式はどこから成り立ってくるのでしょうか。

No.2 回答者： Quattro99 回答日時： 2009/05/04 10:44

素因数分解です。

素数は1とその数自体以外に約数を持たない自然数のことで、素因数分解とは自然数を素数の積の形に表すことです。

公約数の数は、最大公約数がいくつ約数を持つのかということと同じです。
この問題では、
900=(2^2)*(3^2)*(5^2)
1080=(2^3)*(3^3)*5
ですから（x^nはxのn乗、*はかけ算の記号×のことです）、最大公約数は(2^2)*(3^2)*5です（両方の数を素数で割っていくことを考えると、2で割る場合は最大2回まで割ることが出ます。3は2回まで、5は1回までで、これ以上は両者を割りきる数がありません）。
次に、(2^2)*(3^2)*5に約数がいくつあるかを考えます。これは、素因数をそれぞれいくつ持ってくるのかを考えていけばわかります。例えば、2を1個、3を2個、5を1個持ってくれば2*(3^2)*5=90という約数を作ることが出来ます。
2は最大で2個持ってこれますから、0個、1個、2個の3通りあります。3も3通り、5は2通りありますから、あわせて3*3*2通りあることになります。これが約数の個数です。

No.1 ベストアンサー 回答者： tra_tata 回答日時： 2009/05/04 10:39

900=2の二乗×3の二乗×5の二乗

1080=2の三乗×3の三乗×5

上記をそれぞれ以下のように変形します。
900=(2の二乗×3の二乗×5)×5
1080=(2の二乗×3の二乗×5)×(2×3)

900と1080を素因数分解した際に現れる共通部分である
(2の二乗×3の二乗×5)に注目します。

()の中は、何をどう組み合わせて掛け算してもも
900でも1080でも割り切れるのです。
実際に計算してみてください。


で、「何をどう組み合わせるか」ですが、
　2…2のゼロ乗、2の一乗、2の二乗　の3通り
　3…3のゼロ乗、3の一乗、3の二乗　の3通り
　5…5のゼロ乗、5の一乗　　　　　　の2通り
を自由に組み合わせれば、何でも公約になるというわけです。

なので組み合わせパターン、つまり公約数の個数は、3×3×2=18個です。

※ ちなみにゼロ乗は1です。

この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございました。おかげで納得することができました。

お礼日時：2009/05/04 10:43