仕事率Pは、力をF、力を受ける物の速さをvとすると、
P=Fv
とあらわせますよね。また、仕事の量Wの微分として、
P=dW/dt
ともあらわせますよね。
ここで、仕事の量は、動いた距離をxとすれば
W=Fx
で良いでしょうか?だとすると、
P=x(dF/dt) + F(dx/dt)
=x(dF/dt) + Fv
となると思いますが、
Fが時間に依存するときはP=Fvでは表せない、ということで良いでしょうか??
もしもP=Fvで表せる場合があれば、その条件も教えてくださるとうれしいです。

A 回答 (2件)

F が時間に依存するときには


W = F x
が成り立たないのです。

一般には
W = ∫ F dx = ∫ F v dt。
よって
P = dW / dt = F v。

逆に
P = F v
から出発すれば
W = ∫ P dt = ∫ F v dt = ∫ F dx
です。
    • good
    • 2

出発点は仕事量の定義


W=Fx であり、
仕事率が
P = dW/dt = F*dx/dt = Fv
だと思います。
仕事量の定義から仕事率が導かれるのであって、逆に考えるから混乱するのだと思います。
Fはある瞬間の値が測定または定義可能ですから、tで微分する必要はないかと。
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

QF(r)=f(r)r/r のときF(x)=f(r)x/rとなる理由

時間があるので大学1年の物理を再度、深く勉強しなおしているのですが、教科書に当たり前のように書いてあることが分からなくて、しかも聞ける人もいないので質問させていただきました。

教科書の 「中心力F(r)=f(r)r/r が保存力か調べる」とあり(最後のr/rとは位置ベクトルrの単位ベクトルのことです)そのすぐ次の行には「F(x)=f(r)x/rとなるので…」と説明が始まってます。なぜF(x)がこのように求まるのでしょうか?教えてください。

Aベストアンサー

keyguy さんのご回答の通りと思うのですが,
もう少しわかりやすく書いてみますか.

keyguy さんご指摘のように,ベクトルとスカラーの表記に問題があります.
ベクトル r を 【r】 のように書くことにします.

(1)  【F】(【r】) = f(r)【r】/r
ということですね.
x,y,z 方向の単位ベクトルをそれぞれ 【i】【j】【k】とすれば
(2)  【r】= x【i】+ y【j】+ z【k】
です.
つまり,(1)(2)を合わせてみると,
(3)  【F】(【r】) = f(r)x【i】/r + f(r)y【j】/r + f(r)z【k】/r
になっていて,これは【F】の x 成分が
(4)  f(r)x/r
であることを示しています.

Q数学の公式の英語での読み方

ルートや何乗、微分や積分公式などの数学の公式の英語での読み方が分かりません。いいサイトとか何かあれば教えてください。

Aベストアンサー

サイトじゃ無くて、本なんですけど、
「理系の為の英語便利帳」(講談社ブルーバックス刊 \1,140-)
これは本当に便利です。
すぐに買って下さいとは言いませんが、お時間のある時にでも大きな書店で立ち読みして下さいな。
私はこれで結構助かっています。

Q加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /dt^2

加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)
という公式があったのですが、(d^2 x) /(dt^2)はどうやって出せばよいのでしょうか?
dv/dt のvに
v=dx/dt
を代入すると
a=(d^2 x) /(d^2 t^2)
になってしまいます。
計算がまちがっているのでしょうか?

Aベストアンサー

微分でわからなくなったら差にして考えてみてください。

速度vというのは、Δtを十分に小さい量として

v(t) = [ x(t+Δt)-x(t) ]/[ (t+Δt)-t ] = Δx(t)/Δt

ですね。同じようにして加速度a(t)は

a(t) = [ v(t+Δt)-v(t) ]/[ (t+Δt)-t ] = Δv(t)/Δt

ですが、v(t)に上の結果を使うと

a(t) = Δv(t)/Δt = Δ[Δx(t)/Δt]/Δt = Δ[Δx(t)]/(Δt)^2

です。

微分というのはΔt→0の極限を取ったときにΔをdと書くという
約束になっているというだけのことなので、

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)

は間違いで、本当は

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt)^2

という意味です。

また、

a=(d^2 x) /(d^2 t^2)

も間違いです。こう書いてしまうと分母はΔ(Δt^2)という意味になってしまいます。

Q数式の読み方(英語)

次の数式の英語での読み方を教えてください。

・d/dy(D*dx/dy) ←D*dx/dyの微分
・e^(-Q/RT)    ←exp(-Q/RT)

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

juneyさん、こんにちは。

>・d/dy(D*dx/dy) ←D*dx/dyの微分

微分 differentiation
微分する differentiate
なので
a differentiation of dx slash dy
a differentiation of divide dx by dy
(微分をとったもの) (dxをdyで割るもの)

でいいかと思います。

>・e^(-Q/RT)    ←exp(-Q/RT)

expというのは、指数をとるという関数で
指数の exponential
指数関数 an enponential function

an exponential function of ninusQ slash multiply R by T
an exponential functuin of divide ninus Q by R*T

のような感じでいいかと思います。

Qma=Fと微分方程式 m・d^2r/dt^2=F

高校の物理で習うma=Fというニュートンの第2法則ですが、
これを微分方程式m・d^2r/dt^2=Fで解くと何がより分かるように
なるのでしょうか?
またこれ以外にも微分方程式で解くことによる利点を教えて
頂けないでしょうか?

よろしくお願いします

Aベストアンサー

 高校物理では等加速度運動に限定するため、ma=Fという式をよく用いますが、ご承知の通り、それは微分方程式m・d^2r/dt^2=Fの特別な場合です。

 m・d^2r/dt^2=Fは、実は物凄い式です。Fも時刻変化するため、m・d^2r/dt^2=F(t)と書いておいた方がいいかもしれません。また、速度vも考えると、m・d2v/dt=Fです。なお、vもrもベクトルです。

 その式が何を意味しているかといえば、「質量mの物体と位置、物体にかかる力の関係式」ということです。つまり、どんな時刻でもいいので物体の位置が分かり、物体にかかる力がどんなものか分かれば、物体の運動を無限の過去から未来永劫に渡って知ることができる、ということです。

 物体にかかる力は、直接の接触、重力、電磁気力しかありません(ただし、ニュートン力学や電磁気学のマクスウェル方程式が最終的な真理と思われていた19世紀末頃の知見)。それらは、質量や電荷が分かればどれだけかは厳密に確定します。つまり、どんなときにどれだけの力を及ぼすかは分かるわけです。

 そうすると、「どんな時刻でもいいので、全宇宙の粒子の種類と位置さえ分かり、無限の計算能力があれば、宇宙全体を無限の過去から永劫の未来に渡って知ることができる」ということになります(そうできる存在を想像して「ラプラスの悪魔」と呼んだりする)。

 そのことを言い換えると、この宇宙で起こることは全て確定している、宇宙のどこでも、いつでも、どんなことが起こるかは、宇宙が誕生したときに全て決まっている、ということになります。

 こうして回答を書いているのも、質問者様が疑問に思って質問されたことも、宇宙誕生のときから決まっていた、ということです。そうなっているという考え方を「決定論」と呼びます。

 微分方程式m・d^2r/dt^2=Fは、そういうことまで言っている式なのです。

 微分方程式による物理学は、電磁気学で威力を発揮しました。電荷の間に電磁気力が働く、という考え方を遠隔作用説と呼びます。微分方程式ではない簡素な式で物理現象を記述できます。それを「電荷の周りに電磁気的な場ができる」と考えるのを近接作用説といい、微分方程式による記述になります。

 遠隔作用説では説明できないことがあったり、電磁波の数学解も出て来ませんでした。近接作用説に則り、微分方程式で記述し直すと、電磁波の数学解が出てきて、実験してみると電磁波が発見されました。重力もニュートンの式は遠隔作用説の記述ですが、アインシュタインが近接作用説で書き直し、重力に対する理解が非常に進んで、今まで説明不能だったことが説明できるようになりました。

 遠隔作用説の微分方程式でない数式は二つ以上の物体を不可分として扱わねばなりません。数式は簡素でも、物理学的には複雑なことを表しています。一方、近接作用説で考えて出てくるのは微分方程式という見た目は複雑な数式ですが、数式が表しているのは一つの物体についてであり、内容的には簡素です。近接作用説は物理現象を、遠隔作用説より細かく分解して記述しているといえます。

 物理学では、物理現象を調べるときに、できるだけ細かい要素に分けて、一つ一つの要素を調べます。一つ一つが分かったら、元の形に組み直していき、ようやく「分かった」となります。細かく分解できるほど、正確に、精密になるというのが、経験的な事実です。微分方程式による記述は、もっと正確に、より精密にということの顕れです。当然、物理学として進歩します。

P.S.

 決定論は間違っていることが既に判明しています。量子力学の成果です。量子力学は「物理現象の根本は不確定で確率的である」としています。何事も100%の精度で知ることはできず、サイコロの目の出方次第で変わってしまうのですから、たとえ宇宙全体を観測できて、無限の計算能力を持っていても、ラプラスの悪魔にはなれないわけです。

 高校物理では等加速度運動に限定するため、ma=Fという式をよく用いますが、ご承知の通り、それは微分方程式m・d^2r/dt^2=Fの特別な場合です。

 m・d^2r/dt^2=Fは、実は物凄い式です。Fも時刻変化するため、m・d^2r/dt^2=F(t)と書いておいた方がいいかもしれません。また、速度vも考えると、m・d2v/dt=Fです。なお、vもrもベクトルです。

 その式が何を意味しているかといえば、「質量mの物体と位置、物体にかかる力の関係式」ということです。つまり、どんな時刻でもいいので物体の位置が分かり、物体にかか...続きを読む

Q英語での読み方

ライプニッツの記法のx=aでの微分係数(参照urlの左辺)の英語の読み方を教えてください。
d y d x where x equals to a
でよいのでしょうか?

参照url: http://upload.wikimedia.org/math/c/b/b/cbb17ad824dae4082145362e68870487.png

Aベストアンサー

2分20秒あたりから。

http://www.youtube.com/watch?v=56oRoZkrrn8

Q電流がI=dQ/dtやI=-dQ/dtと表わしてある意味がわかりません

電流がI=dQ/dtやI=-dQ/dtと表わしてある意味がわかりません。
物理で、抵抗R、コンデンサC、スイッチSが閉じる回路があり、コンデンサCの両極に±Qの電荷がある。
このとき、スイッチを閉じ抵抗Rを通じて放電するときの電流の時間変化を求める問題において、I=-dQ/dtとして、微分方程式を立てて解くことみたいです。そのとき、なぜ、電流をI=-dQ/dtとするのがわかりません。下記のページ↓を見ても、なぜこの問題においてI=-dQ/dtとするのかわかりません。わかりやすく教えてください(+o+) お願いします。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1222281602

Aベストアンサー

コンデンサーにたまっていた電荷が放電する場合ですからそれに合わせて考える必要があります。
#2に場面の説明と図があります。(抵抗Rを入れておく方が分かりやすいでしょう。)
その図で言うと電流の向きは反時計回りです。
この向きは+Qのある極板(Aとします)から-Qのある極板(Bとします)に向かって電荷が移動するということで決まります。逆は起こりません。電流が流れれば極板の上の電荷は減少します。
I=-dQ/dtです。
この式の中でのQは一般的な電荷の意味ではありません。極板Aの上の電荷の意味です。
だからこの式は方程式なのです。(定義式ではありません。)
(この場面でI=dQ/dtは出てきません。電荷が増加する方向に電流が流れるということが起こらないからです。起こるとしたら電池を接続しての充電の場合です。#2の図でいえばスイッチの入っている方向が違うのです。1つの場面に両方の式が出てくるということはありません。)

極板に電荷がたまっていればQ=CVで決まる電位差が存在します。
電流Iはこの電位差とも関係します。I=V/Rです。
I=Q/(CR)ですから微分方程式は Q/(CR)=-dQ/dtになります。
変数分離で解くと初期値をQoとして
Q=Qoexp(-t/(CR))

放電によって電荷が(指数関数で)減少するという結果が出てきました。
-をつけた式で考えたので矛盾のない結果になったのです。

充電の場合でしたら
I=dQ/dt
Q=CV
I=(E-V)/R  ・・・  (Eは電池の起電力)

t=0でQ=0という条件で解くと
Q=CE(1-exp(-t/(CR)))

t→∞でQ=CEです。
充電できました。

コンデンサーにたまっていた電荷が放電する場合ですからそれに合わせて考える必要があります。
#2に場面の説明と図があります。(抵抗Rを入れておく方が分かりやすいでしょう。)
その図で言うと電流の向きは反時計回りです。
この向きは+Qのある極板(Aとします)から-Qのある極板(Bとします)に向かって電荷が移動するということで決まります。逆は起こりません。電流が流れれば極板の上の電荷は減少します。
I=-dQ/dtです。
この式の中でのQは一般的な電荷の意味ではありません。極板Aの上...続きを読む

Q英語の読み方

日本語は一文字で一つの読み方でわかりやすいのですが英語には読み方の決まりはあるのでしょうか?あるのであれば読み方を詳しく書いているサイトや本、もしくはここに書いてくれると嬉しいです

Aベストアンサー

「えいごのよみかたの」でグーグル検索しかけたら「英語の読み方のルール」の検索結果がたくさんヒットしました。これなんか、どうでしょう。
http://www.uda30.com/bay/Spell-Yomi/Spell-Yomikata.htm

Q物理の計算で m×dv/dt×v=d/dt{1/2mv(t)^2} という変形はどうやったらできます

物理の計算で
m×dv/dt×v=d/dt{1/2mv(t)^2}
という変形はどうやったらできますか?

Aベストアンサー

2つの関数F(t)、G(t)を考えると

 dF(t)*G(t)/dt = dF/dt * G + F * dG/dt   ①

です。

ここで
 F = mv
 G = v
とおいて①に代入すれば

d(mv²)/dt = d(mv)/dt * v + mv * dv/dt = 2*mv*dv/dt

これで
 mv*dv/dt = (1/2)d(mv²)/dt
なのですけどね。


人気Q&Aランキング