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仕事率Pは、力をF、力を受ける物の速さをvとすると、
P=Fv
とあらわせますよね。また、仕事の量Wの微分として、
P=dW/dt
ともあらわせますよね。
ここで、仕事の量は、動いた距離をxとすれば
W=Fx
で良いでしょうか?だとすると、
P=x(dF/dt) + F(dx/dt)
=x(dF/dt) + Fv
となると思いますが、
Fが時間に依存するときはP=Fvでは表せない、ということで良いでしょうか??
もしもP=Fvで表せる場合があれば、その条件も教えてくださるとうれしいです。

A 回答 (2件)

F が時間に依存するときには


W = F x
が成り立たないのです。

一般には
W = ∫ F dx = ∫ F v dt。
よって
P = dW / dt = F v。

逆に
P = F v
から出発すれば
W = ∫ P dt = ∫ F v dt = ∫ F dx
です。
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出発点は仕事量の定義


W=Fx であり、
仕事率が
P = dW/dt = F*dx/dt = Fv
だと思います。
仕事量の定義から仕事率が導かれるのであって、逆に考えるから混乱するのだと思います。
Fはある瞬間の値が測定または定義可能ですから、tで微分する必要はないかと。
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Q微分のdx/dtというような表記の仕方がいまいち良くわかりません

記号の意味そのものは良くわかるのですが…
そのdx/dtに掛けたり割ったりする感覚が良くわかりません。
dy/dt×dt/dx=dy/dxのような?感じです
また、高次導関数をd^ny/dx^nと表記する仕組みも良くわかりません。
なぜ分数で言う分子の位置ではdに指数がついているのに分母の位置にではxに指数が付いているのか…まったくの謎です。
数学が苦手なので基礎的な部分から教えてください

Aベストアンサー

こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


xの変化の幅を1つ減らせば、

xがaからa+1に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+1)-y(a))/(a+1 - a)
 = ((a+1)^2 - a^2)/(a+1 - a)
 = 2a + 1


では、xの変化をさらに1つ減らした場合を考えます。
それは、xをaからaに変化させるということです。
aがいかなる値であっても、y=x^2のグラフには、たしかに傾きがありますが、
傾きというのは、変化の割合と同じです。
ですから、答えがあるはずです。
そこで、上記と同じく、x=a における変化の割合を求めるとすると、どうなるかと言えば、
(y(a)-y(a))/(a-a) = 0/0 (=不定)
という、わけのわからない結果となってしまいます。
しかし、グラフの傾きも、変化の割合も存在するはずです。

そこで、非常に小さい変化量を、dをつけた記号で表すことを考えます。

xの変化は、 a → a+dx
yの変化は、 y(a) → y(a+dx)

xの変化量は、dx ( = a+dx - a)
yの変化量は、dy = y(a+dx) - y(a)
です。


x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 =(y(a+dx)-y(a))/(a+dx - a)
 = ((a+dx)^2 - a^2)/(a+dx - a)
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
とすることができます。

分子に(dx)^2 がありますが、
dx自体が非常に小さい量ですので、(dx)^2 は、全く無視してよい量となります。
よって、
x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
 = 2adx/dx
 = 2a
となります。

これで、x=a のときの dy/dx は、 2a と表せることがわかりました。

ということは、いかなるxの値についても、
dy/dx = 2x
であるということです。

以上のことで、
・x^2 を微分したら 2x になること
・dy/dx は、xの変化に対するyの変化の割合
の意味がおわかりになったと思います。


そして、
たとえば、y、t、x の3変数があって、
ある地点において、
tの変化量のxの変化量に対する割合が4で、
yの変化量のtの変化量に対する割合が3だとしましょう。
すると、xが1変化するのに対してyは12変化します。
dt/dx = 4
dy/dt = 3
dy/dx = 12 = 3 × 4 = dy/dt・dt/dx


なお、
高次導関数の表記については、単なる約束事だと思っておけばよいです。
素直に書けば、
1回微分は、dy/dx
2回微分は、d(dy/dx)/dx
3回微分は、d(d(dy/dx)/dx)/dx
ということになりますが、これでは見にくいので。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


xの変化の幅を1つ減らせば、

xがaからa+1に変化するときの、xの変...続きを読む


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