重力加速度の測定について

Question

高校２年物理選択のものです。
授業で「斜面を転がる金属球の加速度から、重力加速度の値を求める実験」というのをして、そのレポートをかかなくてはいけないのですが
重力加速度gを求める式の導き方がわからないのでどなたか教えていただけないでしょうか。



AB間の距離=l
B点での速度(最速)=v
として、

■加速度aはvとlを用いて表すことができる
■加速度aは重力加速度gとsinθを用いて表すことができる
■sinθは、lとhを用いて表すことができる
つまり、重力加速度gはv,l,hを用いて表すことができる。

ということらしいのですが
私が計算するとg=v^2/2hのような式になってしまい、どうしてもうまくいきません。
どなたかよろしくおねがいします。

htms42 · Accepted Answer

「うまくいかない」というのはどういうことでしょう。
御質問の文章からだけでは分かりません。
式としてわからないということでしょうか。
測定値と式とが一致しないということでしょうか。

エネルギー保存則を用いるとすると
ｍｇｈ＝(1/2)ｍｖ^2
となります。
２ｇｈ＝ｖ^2
ですからｖとｈを測るとｇが出てきます。
θ、ｌは関係がありません。

実験をされたということですがｖはどのようにして測られましたか。
得られたｖ、ｈの値を上の式に入れてｇを求めるとかなり小さい値になると思います。
ｇ＝９．８ｍ／ｓ^2として予想されるｖの値を求めて測定値と比べてもらっても食い違いが分かります。

実は斜面を転がる金属球に対して上のように考えるというのは誤っているのです。
上の式は摩擦のない斜面を転がらずに滑るという場合のものです。
運動エネルギーは重心の速度だけで表すことが出来ます。
斜面に摩擦があれば転がリます。この場合は回転運動のエネルギーが別に必要になります。
位置エネルギーの減少＝重心の運動エネルギーの増加＋重心周りの回転運動のエネルギーの増加＋滑ることにより発生した摩擦熱
になります。
滑らずに転がるとします。
摩擦熱の発生はなくなります。
位置エネルギーは２つの運動エネルギーに分配されますので飛び出しの速さは回転を考えていない時に比べて小さくなります。
一様な密度の球の場合、分配の割合は５：２です。
エネルギー保存則は
(5/7)ｇｈ＝（1/2）ｖ^2
になります。

この場合もθ、ｌは必要ありません。
滑らずに転がるという条件を実現するためには斜面がゆるくないといけません。摩擦はある程度大きくないと滑ります。でこぼこが目立ってもいけません。

※なぜ５：２になるかという計算には慣性モーメントという量が必要です。

g-space · Answer

エネルギー保存則を使わないとすると次のようになります。

　斜面を転がり落ちるのに要する時間をtとして、等加速度運動であるから（ですよね？）
　　　v=at　　　　　　 (1)
　　　l=(1/2)at^2　　　(2)
(1)式よりt=v/a。これを(2)に代入して解くと、
　　　a=v^2/(2l)　　　　(A)

　次いで、aは重力加速度の斜面方向の成分だから、
　　　a=gsinθ　　　　　(B)

　sinの定義により、
　　　sinθ=h/l　　　　　(C)

(C)を(B)のsinθに入れ、さらにこれを(A)のaに入れると
　　　gh/l=v^2/(2l)
よって、
　　　g=v^2/(2h)

noname#137826 · Answer

g = v^2 / (2h)

であっていると思いますよ。

・・・ということらしい、というご質問にある過程を経てもよいのでしょうが、もっと簡単な導出は、金属球の質量を m として、エネルギー保存則より

mgh = mv^2 / 2

というものでしょう。
両辺を mh で割れば答えになります。

重力加速度の測定について

「うまくいかない」というのはどういうことでしょう。

この回答への補足

エネルギー保存則を使わないとすると次のようになります。

g = v^2 / (2h)

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