有理数の問題について

今日数学の講義で(0,1)内にある有理数全体は全有理数Qと1対1対応するか。と言う問題を出されました。
一通り考えてみたのですが、さっぱりわかりません。
もしよろしかったらヒントでもいいので教えてくださると助かります。
お返事まってす。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/05/19 11:08

いまさらですが, 「ぐっすり眠れた」のでしょうか?

いや, なんとなく「それで納得できるのかなぁ」と思ったもので....
やっぱり全単写を自分で作ってみるべきだと思いますよ.
いろいろとあやはありますが #1 でいわれるように自然数を介せば簡単. あと, 「(0, 1) の有理数」と「1 より大きい有理数」が 1対1 に対応することに気づけば別の方法もあります.

No.1 回答者： 33550336 回答日時： 2009/05/18 20:34

まず結論から言うと、両方とも可算濃度をもつので全単射は必ず存在します。

で、具体的にどう作るか、ですが一度自然数全体を介せば、ある程度具体的かつ簡単に作れると思います。
つまり適当な規則に従って順番をつけるわけです。
一度やってみてください。

この回答へのお礼

返事ありがとうございます。
全単射が必ず存在するという事は(0,1)内にある有理数全体と全有理数Qは一対一対応するということですね。
これで今日はぐっすり眠れそうです。
本当にありがとうございましたm(__)m

お礼日時：2009/05/18 21:00