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問題 無限級数1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-・・ ・・(1)について,(1)級数(1)の初項から第n項までの部分和をSnとするとき,S2n-1,S2n
をそれぞれ求めよ。
解答 S2n-1=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-・・-1/n+1/n
=1-(1/2-1/2)-(1/3-1/3)-・・-(1/n-1/n)=1
S2n=S2n-1-1/(n+1)=1-1/(n+1)
とあるのですが1/(n+1)がどこからくるのか,色々と調べてみたのですがわかりません。どうかよろしくお願いします。

A 回答 (3件)

> 1/(n+1)がどこからくるのか,


無限級数の2n項目が「-1/(n+1)」です。

この回答への補足

無限級数の2n項目というのは(1)の式のことでよいのでしょうか。よろしくお願いします。

補足日時:2009/05/24 17:05
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この回答へのお礼

皆さんありがとうございました。

お礼日時:2009/05/25 18:23

#1です。


A#1の補足質問の回答

>無限級数の2n項目というのは(1)の式のことでよいのでしょうか。
その通りです。
#2の方がすでに回答しておられるますが、(1)の式の初項から数えて
2n番目の項のことです。
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この回答へのお礼

補足に答えて頂きありがとうございました。よくわかりました。

お礼日時:2009/05/25 18:21

> 無限級数の2n項目というのは(1)の式のことでよいのでしょうか。



よいです。

式 (1) を、第 2n 項までで打ち切ったものが S(2n)。
第 2n-1 項までで打ち切ったものが S(2n-1) です。
その差は、(1) の第 2n 項ですね?

(1) の偶数項だけを並べて、-1/2, -1/3, -1/4, …
と書き出してみれば、
(1) の第 2n 項は -1/(n+1) であることが解るでしょう。
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この回答へのお礼

大変よくわかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/25 18:19

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画像ではSnの途中の計算を省略してあります。
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

S_2=1-1/3
S_4=1-1/3+1/2-1/3^2
S_6=1-1/3+1/2-1/3^2+1/2^2-1/3^3
を見れば
S_2n=1-1/3+1/2-1/3^2+1/2^2-1/3^3+...++1/2^(n-1)-1/3^n
ということは自明。
a_1=1
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a_3=1/2
a_4=-1/3^2
...
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質問したい数学の問題を
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問題のすぐ下の「指針」の(2)に、
「部分和S_(2n-1), S_(2n)はすぐにわかるが、S_nを1つの式に表すのは難しい」
とありますが、
S_n=S_(2n-1)+ S_(2n) と表すのは間違っているのでしょうか?
(「奇数番目の項の総和」+「偶数番目の項の総和」と考えました。)

そして、その2行目下の太字に、

「lim_n→∞ S_(2n-1)=lim_n→∞ S_(2n)=Sならばlim_n→∞ S_(n)=S」
とありますが、
lim_n→∞ S_(2n-1)=lim_n→∞ S_(2n)=Sならば
lim_n→∞ S_(n)=lim_n→∞ S_(2n-1)+lim_n→∞ S_(2n)=S+S=2S
ではないのでしょうか?

そしてその下の
「lim_n→∞ S_(2n-1)≠lim_n→∞ S_(2n)ならばS_(n)は収束しない」というのがなぜなのかわかりません。

≠のときでも2Sに収束するように思えてしまいます。
===
自分の考えでいくと(2)の答案部分で、
最終行から2行めは
lim_n→∞ S_(2n-1)=lim_n→∞ S_(2n)=1であるからlim_n→∞ S_(n)=1
ではなく、lim_n→∞ S_(n)=1+1=2
と考えてしまいます。考え方のどこが間違っているのでしょうか?
+++++++++++++++++

<追加質問>
問題の下の「指針」の(1)に
「【注意】無限の場合は、無条件で項の順序を変えてはいけない」
とありますが、部分和が無限になるような無限級数とはたとえばどのようなものなのでしょうか?
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よろしくお願いします。

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問題のすぐ下の「指針」の(2)に、
「部分和S_(2n-1), S_(2n)はすぐにわかるが、S_nを1つの式に表すのは難しい」
とありますが、
S_n=S_(2n-1)+ S_(2n) と表すのは間違っているのでしょうか?
(「奇数番目の項の総和」+「偶数番目の項の総和」と考えました。)

そして、その2行目...続きを読む

Aベストアンサー

日本語の理解の問題です。

部分和Sη は有限であるから,項の順序を変えて和を求めてもよい。
図目 無限の場合は,無条件で項の順序を変えてはいけない。

の意味は、
たとえばシグマを使って和を表すときに

Σ
k=1

で、S_(n)


Σ
k=1

で、無限個の要素の和を表したとする。
下のような場合には、項の順序を勝手に変えてはいけない。
という意味です。

さらに、
収束の理解ですが、
S_(m)→S  (m→∞)

については、
mが大きくなれば部分和がSに近づくことを意味します。

ただし、数列の性質から部分和の表現が面倒なので
mが偶数の場合には部分和がSに近づく。
mが奇数の場合にも部分和がSに近づく。
この二つから、
mが偶数でも、奇数でもどちらの場合でもmが大きくなれば部分和がSに近づく。
したがって、mがどんな自然数でも、それが大きくなれば部分和がSに近づくことになります。
理由は、自然数には偶数と奇数しかないからです。

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