問題 無限級数1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-・・ ・・(1)について,(1)級数(1)の初項から第n項までの部分和をSnとするとき,S2n-1,S2n
をそれぞれ求めよ。
解答 S2n-1=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-・・-1/n+1/n
=1-(1/2-1/2)-(1/3-1/3)-・・-(1/n-1/n)=1
S2n=S2n-1-1/(n+1)=1-1/(n+1)
とあるのですが1/(n+1)がどこからくるのか,色々と調べてみたのですがわかりません。どうかよろしくお願いします。

A 回答 (3件)

> 1/(n+1)がどこからくるのか,


無限級数の2n項目が「-1/(n+1)」です。

この回答への補足

無限級数の2n項目というのは(1)の式のことでよいのでしょうか。よろしくお願いします。

補足日時:2009/05/24 17:05
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この回答へのお礼

皆さんありがとうございました。

お礼日時:2009/05/25 18:23

#1です。


A#1の補足質問の回答

>無限級数の2n項目というのは(1)の式のことでよいのでしょうか。
その通りです。
#2の方がすでに回答しておられるますが、(1)の式の初項から数えて
2n番目の項のことです。
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この回答へのお礼

補足に答えて頂きありがとうございました。よくわかりました。

お礼日時:2009/05/25 18:21

> 無限級数の2n項目というのは(1)の式のことでよいのでしょうか。



よいです。

式 (1) を、第 2n 項までで打ち切ったものが S(2n)。
第 2n-1 項までで打ち切ったものが S(2n-1) です。
その差は、(1) の第 2n 項ですね?

(1) の偶数項だけを並べて、-1/2, -1/3, -1/4, …
と書き出してみれば、
(1) の第 2n 項は -1/(n+1) であることが解るでしょう。
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この回答へのお礼

大変よくわかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/25 18:19

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Q無限級数では

無限級数では
『第n項が0に収束する⇒無限級数が収束する』
は成り立たない。

無限等比級数では
『第n項が0に収束する⇒無限等比級数が収束する』
は成り立つ。

上に書いたことは正しいでしょうか?

Aベストアンサー

こんにちは。
正しいと思います。

1個目については、
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ・・・
は、第n項が収束しても級数が収束しない有名な例です。

2個目については、高校で習う級数の和の公式を用いて、公比が1未満の場合を考えればよいですね。

Q1/2*3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)/2(n+1)(n+2)=???

(1)1/2*{3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}/2(n+1)(n+2)=
(2)(3n^2+5n)/4(n+1)(n+2) なのだそうですが…
自分で紙に書いて計算しても(2)になりません。

(2)になるまでを詳しく書いてください。

3(n+1)(n+2)-2(n+1)(n+2)として計算したのですが…

Aベストアンサー

{3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}を整理してみます。

{3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}
 =3(n^2+3n+2)-2n-4-2n-2
 =3n^2+9n+6-4n-6
 =3n^2+5n

1/2*{A}/2(B)={A}/4(B) ですから、

1/2*{3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}/2(n+1)(n+2)
 ={3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}/4(n+1)(n+2)
 =(3n^2+5n)/4(n+1)(n+2)

>3(n+1)(n+2)-2(n+1)(n+2)として計算したのですが…

-2(n+2)-2(n+1)=-2(n+1)(n+2)とされたんですね。
-2a-2b=-2(a+b)ですから(逆に展開してみてください)
-2(n+2)-2(n+1)=-2{(n+2)+(n+1)}です。

Q数III 無限級数の収束・発散を調べたい

 
与えられた無限級数の
奇数項の部分和 と 偶数項の部分和 が異なる値に収束する
よってこの無限級数は振動し、発散する

という解法と、

与えられた無限級数の
数列が0に収束しない
よってこの無限級数は発散する

という解法はわかるのですが、

与えられた無限級数の
奇数項(偶数項)の数列の極限が0に収束しない 
よってこの無限級数は発散する

という解法が、いまいちピンときません。
どこがわからないのか?といわれても
はっきり答えることができないのですが…

3つ目の解法では具体的に
どんなことが起きているのか
教えてください。

漠然とした質問ですみません。

Aベストアンサー

無限級数の数列が0に収束する
⇔奇数項の数列が0に収束する かつ 偶数項の数列が0に収束する

というのは⇒のみしか成立しない。従って
奇数項の数列が0に収束する かつ 偶数項の数列が0に収束する
⇒無限級数の数列が0に収束する
は一般的に成立しない。
また「i<j⇒bk(i)<bk(j),k(1)≧1,lim(n→∞)k(n)=∞」の所は
「i<j⇒k(i)<k(j),k(1)≧1,lim(n→∞)k(n)=∞」で改めることにして
これの意味は
k(x):N→N (自然数から自然数に移す写像) とし
k(x)が自然数xについて任意な狭義単調増加である関数ということでとらわれている。

Q3/(n+2)(n+5)= 1/3 {<1/(n+2)>-<1/(n+5)>} ???

{1/(n+2)}-{1/(n+5)}=3/(n+2)(n+5)…(1)です。更に
1/3 {<1/(n+2)>-<1/(n+5)>}…(2)
にと変形できるそうです。
読んでいる本に、(1)の分子の3を1にする為に上の変形が紹介されていたのですが、

(1)と(2)は同じ数値、大きさになるのでしょうか? 
分子と分母で数字が同じでも、分子を1にして元々の数字で割ってしまっては(分母に元の数字を)、違う大きさになると思うのですが…
2/1と1/2は違いますし…

Aベストアンサー

A-B=3Cだから、C=(1/3)(A-B)だ、といっているのです。

1/(n+2)-1/(n+5)=3{1/(n+2)(n+5)}だから
1/(n+2)(n+5)=(1/3){1/(n+2)-1/(n+5)}になりますよということ。
(2)の方の式に等号がありませんが、左辺(あるいは右辺)に
くるべきものをいっしょに考えてください。

Q無限級数及び、無限級数の定義とは?

度々スイマセン。
宜しくお願いいたします。


無限級数の定義について考えております。
以下のような解釈で正しいでしょうか?

無限級数とは



数列{a_n}

(つまり、a_1,a_2,a_3,…)からできる

数列{Σ(a_k,k=1,n)}

(つまり、Σ(a_k,k=1,1),Σ(a_k,k=1,2),Σ(a_k,k=1,3)),…)

のことである。

これを単に

Σ(a_k,k=1,∞)

と表す。



無限級数の値とは数列{Σ(a_k,k=1,n)}の極限値

lim(n→∞,Σ(a_k,k=1,n))

の事であり、

Σ(a_k,k=1,∞)

と表す。

この値の事を無限級数の和とも言う。

Aベストアンサー

#1です。岩波数学辞典によると、
Σ[n=1 to ∞]a_n
には2つの意味があるようです。

一つは、
a_1+a_2+a_3+・・・
のことです(これを「級数」と呼んでいる)。単にΣa_nとも書きます。
なお、収束とかは一切考えていません。「a_1,a_2,・・・を"+"という記号でつないで並べたもの」という形式的なものでしかありません。(#1に書いた形式的冪級数もこっちの意味です)

もう一つは、
部分和S_n=a_1+a_2+・・・+a_nの列{S_n}が収束する時の、極限値です。
部分和の列の極限値sを「和」と呼んで、Σ[n=1 to ∞]a_n=sなどと書くようです。
式の中で使われるΣ[n=1 to ∞]a_nはこっちの意味ですね。

また、有限数列に対してa_1+a_2+・・・+a_nも級数と呼ぶ事があるので、特に区別する必要がある場合に「有限級数」「無限級数」などと呼ぶようです。


>a_0 +a_1 x+a_2 x^2+・・・+a_n x^n+・・・
>は関数列の極限
>lim(Σ[k=0 to n]a_k x^k)
a_0 +a_1 x+a_2 x^2+・・・+a_n x^n+・・・というのは、本当に形式的なものです。収束とかは一切考えられていません。それどころか、xが実数か複素数か行列かあるいはそれ以外なのか、という事すら決めていません。
何て書けばいいのか分からなかったので、#1では「関数列(?)」と呼びましたが、これは関数ですらありません。(じゃぁ、何のなのかと聞かれると非常に困るのですが)


>(1)
>『無限級数は"無限数列の部分和の数列"』と言えるか?
少なくとも、岩波数学辞典ではその数列を「部分和の列」と呼んでいますし、「(無限)級数」と「部分和の列」とは違うと思います。

>(2)
>『無限級数の和は部分和の数列の極限"』と言えるか?
通常はそのように定義されていると思います。

>参考書には無限級数と無限級数の和とも同記号
>Σ[k=1 to ∞]a_k
>で表しているが"無限級数"と"無限級数の和"は同意なのか?
岩波数学辞典では、「a_1+a_2+・・・」という形式的なものを「(無限)級数」と呼び、部分和の極限を「和」と呼んでいます。(どちらも、同じ記号Σ[n=1 to ∞]a_n
で表しています)
ま、特に区別する必要もないと思いますが。

>(4)
>"無限級数の和"とは"無限級数の値"のことと言えるか?
「無限級数の値」が何を指すのか定義をする必要がありますが、まぁ、同じと考えていいと思います。

#1です。岩波数学辞典によると、
Σ[n=1 to ∞]a_n
には2つの意味があるようです。

一つは、
a_1+a_2+a_3+・・・
のことです(これを「級数」と呼んでいる)。単にΣa_nとも書きます。
なお、収束とかは一切考えていません。「a_1,a_2,・・・を"+"という記号でつないで並べたもの」という形式的なものでしかありません。(#1に書いた形式的冪級数もこっちの意味です)

もう一つは、
部分和S_n=a_1+a_2+・・・+a_nの列{S_n}が収束する時の、極限値です。
部分和の列の極限値sを「和」と呼んで、Σ[n=1 to ∞...続きを読む

QΣ[k=1..∞](-1)^(k+1)/k^2=π^2/12において,|π^2/12-s(n)|<10^-4となる為のnの大きさは?

皆様、宜しくお願い致します。下記の問題でたいそう難儀しております。

[問]与えられたΣ[k=1..∞](-1)^(k+1)/k^2=π^2/12において,|π^2/12-s(n)|<10^-4
となる為にはどのくらい大きい自然数nが選ばれねばならないか決定せよ。
但し,s(n)はこの級数のn項迄の部分和を表す。

という問題なのですがこれはどのようにして解けばいいのでしょうか?

Aベストアンサー

全部答えるとルール違反なので方針だけ。

Σ[k=n+1..∞](-1)^(k+1)/k^2

の絶対値が 10^(-4) よりも小さくなる条件を求めればよい。

Q無限級数

A_n={1/(2n-1)}(1/2)^n (n=1,2,...) の無限級数
lim[n→∞]S_n
の求め方を教えてください。ヒントでもかまいません。各項についている係数が等差数列ならばいけるのですが、この問題はお手上げです。
それともはさみうちでも使うのでしょうか??使えそうにない気しかしないのですが…。降参です。そして高三です。
どうかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1です。
私も#2さん、#3さんのように、
出題者はテーラー展開を念頭において出題したとしか考えられません。
でも、高3なら微分積分は使えるはずなので、
テーラー展開を使わないで回答したいと思います。

f(x) = lim[n→∞] Σ[k=1~n] {1/(2k-1)}x^(2k-1) とおき、
両辺を x で微分します。すると、

f'(x) = lim[n→∞] Σ[k=1~n] x^(2k-2)

となり、右辺は無限等比級数の和ですから、|x|<1 のとき、

f'(x) = 1 / (1 - x^2)

となります。したがって、

f(x) = ∫{ 1 / (1 - x^2) } dx
= (1/2)∫{ 1 / (1 + x) } dx + (1/2)∫{ 1 / (1 - x) } dx
= (1/2)log(1+x) + (1/2)log(1-x) + C (C は積分定数)

となり、f(0) = 0 ですから C = 0 で、

f(x) = (1/2)log(1+x) + (1/2)log(1-x)

です。

すると、求める値は、

lim[n→∞]S_n = lim[n→∞] Σ[k=1~n] {1/(2k-1)}(1/2)^k
= lim[n→∞] Σ[k=1~n] {1/(2k-1)}(1/√2)^2k
= (1/√2) lim[n→∞] Σ[k=1~n] {1/(2k-1)}(1/√2)^(2k-1)
= (1/√2) f(1/√2)
= (1/2√2) { log( 1 + 1/√2 ) - log( 1 - 1/√2) }
= (1/2√2) log { ( 1 + 1/√2 ) / ( 1 - 1/√2) }
= (1/2√2) log { ( √2 + 1 ) / ( √2 - 1) }
= (1/2√2) log { ( √2 + 1 )^2 }
= (1/√2) log ( √2 + 1 )

となります。

#1です。
私も#2さん、#3さんのように、
出題者はテーラー展開を念頭において出題したとしか考えられません。
でも、高3なら微分積分は使えるはずなので、
テーラー展開を使わないで回答したいと思います。

f(x) = lim[n→∞] Σ[k=1~n] {1/(2k-1)}x^(2k-1) とおき、
両辺を x で微分します。すると、

f'(x) = lim[n→∞] Σ[k=1~n] x^(2k-2)

となり、右辺は無限等比級数の和ですから、|x|<1 のとき、

f'(x) = 1 / (1 - x^2)

となります。したがって、

f(x) = ∫{ 1 / (1 - x^2) } dx
=...続きを読む

Qω1=-1/2+i√3/2,ω2=-1/2-i√3/2に対し,ω1^n

ω1=-1/2+i√3/2,ω2=-1/2-i√3/2に対し,ω1^n+ω2^n(n∈Z)を求めよ。
どうやって解けばいいのかわからないので教えてください。

Aベストアンサー

|ω1|=|ω2|=1,ω1=e^(i2π/3),ω2=e^(-i2π/3)
ω1+ω2=e^(i2π/3)+e^(-i2π/3)=-1
ω1^2+ω2^2=e^(i4π/3)+e^(-i4π/3)=e^(-i2π/3)+e^(i2π/3)=ω2+ω1=-1
ω1^3+ω2^3=e^(i6π/3)+e^(-i6π/3)=e^(i2π)+e^(-i2π)=1+1=2
ω1^4+ω2^4=e^(i8π/3)+e^(-i8π/3)=e^(i2π/3)+e^(-i2π/3)=-1

ω1^n+ω2^n=e^(i2nπ/3)+e^(-i2nπ/3)
mを正整数として
n=3m-2のとき
ω1^n+ω2^n=e^(i(6m-4)π/3)+e^(-i(6m-4)π/3)
=e^(i2π/3)+e^(-i2π/3)=ω1+ω2=-1

n=3m-1のとき
ω1^n+ω2^n=e^(i(6m-2)π/3)+e^(-i(6m-2)π/3)
=e^(-i2π/3)+e^(i2π/3)=ω2+ω1=-1

n=3mのとき
ω1^n+ω2^n=e^(i6mπ/3)+e^(-i6mπ/3)=1+1=2

以上をまとめると

n=3mのとき
ω1^n+ω2^n=2
n≠3mのとき
ω1^n+ω2^n=-1
ここで、mは1以上の任意の正整数(自然数)です。

(参考)単位円を考えると分かりやすいと思います。

|ω1|=|ω2|=1,ω1=e^(i2π/3),ω2=e^(-i2π/3)
ω1+ω2=e^(i2π/3)+e^(-i2π/3)=-1
ω1^2+ω2^2=e^(i4π/3)+e^(-i4π/3)=e^(-i2π/3)+e^(i2π/3)=ω2+ω1=-1
ω1^3+ω2^3=e^(i6π/3)+e^(-i6π/3)=e^(i2π)+e^(-i2π)=1+1=2
ω1^4+ω2^4=e^(i8π/3)+e^(-i8π/3)=e^(i2π/3)+e^(-i2π/3)=-1

ω1^n+ω2^n=e^(i2nπ/3)+e^(-i2nπ/3)
mを正整数として
n=3m-2のとき
ω1^n+ω2^n=e^(i(6m-4)π/3)+e^(-i(6m-4)π/3)
=e^(i2π/3)+e^(-i2π/3)=ω1+ω2=-1

n=3m-1のとき
ω1^n+ω2^n=e^(i(6m-2)π/3)+e^(-i(6m-2)π/3)
=e^(-i2π/3)+e^(i2π/3)=ω2+ω1=-1

n=3mのとき
ω1...続きを読む

Q無限級数

(n*n-2)/n ! の無限級数の計算の仕方を教えてください。

Aベストアンサー

一応、添付図のとおりです。本当は、収束性が定かでない無限級数の足し算の順序を勝手に変えてはいけないのですが。

ただ、このケースでは、結論が収束級数の和となったので、結果オーライです。論理的にきちんと記述しようとするなら、添付図の式変形をおおむね下から辿っていけばよろしいかと。

QF_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

のようなのですが、(b+c)(c+a)(a+b)を因数に持つことは分かりますが、残りの因数はどうやってもとめるのでしょうか?

一文字を変数と見て、地道に割り算するしかないのでしょうか?
効率的な計算方法はありますでしょうか?

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^...続きを読む

Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
k_ABC (A+2)!(B+1)!(C)! = (2n+1)! となり、係数が得られます。


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