fをXの閉集合を全部集めた集合とする。このとき次が成り立つことを示せ。
1)Φ∈f,X∈f
2)n∈Nとする。もしF1,F2,…,Fn∈fならば∪(k=1~n)Fk∈f
3){Fλ}λ∈∧を集合∧で添え字づけられた閉集合族とすると、∩(λ∈∧)Fλ∈f

時間のある方教えてください。

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A 回答 (3件)

通常は、まず、開集合を定義して、これをもとに閉集合を定義します。


Xの開集合全体の集合uは次の3つを満たす。(定義)
1)Φ∈u,X∈u
2)n∈Nとする。もしU1,U2,…,Un∈uならば∩(k=1~n)Uk∈u
3){Uλ}λ∈∧を集合∧で添え字づけられた開集合族とすると、∪(λ∈∧)Uλ∈u
Xの閉集合とは、ある開集合の補集合となっていることである。(定義)
つまり、FがXの閉集合であるとは、あるU∈uに対して、F=X-Uとなって
いることである。
よって、
1)Φ=X-X∈f, X=X-Φ∈f
2)は、Fk=X-Uk、3)は、Fλ=X-Uλと表して、集合の演算を使えば
できます。(ド・モアブルの定理を使う)
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No.1 のヒントに沿って…



質問文中の 1)~3) は、「閉集合」を定義する公理群なので、
証明は、「定義より自明」で完了。

この公理によって、X に付随する閉集合族 f を定義すると、
(X,f) のペアを位相空間とみなすことができる。

このようにして、X に位相を導入すると、位相に関連する
諸概念も定義できるようになる。 例えば、開集合とは、
X の部分集合のうち、補集合が閉集合であるもののこと。
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基本的な問題なので、位相に関する教科書を見れば、載っていると思います。


位相の定義は何を使っていますか。
定義によっても、解答の方向が違ってきますよ。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
定義:Xを空でない集合とする.Xの部分集合の族uで次の条件を満たすものが与えられているとき、uはX上に位相を定めるという.
1、Φ,X∈u
2、U1,U2∈u⇒U1∩U2∈u
3、uの元からなる任意の集合族{Uλ}λ∈∧に対し∪λUλ∈u

位相空間Xの部分集合Fは、その補集合X-Fが開集合となるとき閉集合という.

補足日時:2009/05/26 09:40
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