R*{dg(t)/dt}+q(t)/C=E

q(t)=CE(1-e^-(t/RC))
となる過程を教えてください
お願いします
必死です
http://nkiso.u-tokai.ac.jp/phys/exp/titles/timec …
これの(1)からのへんけいです
お願いします

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A 回答 (5件)

#3です。


お礼欄の質問を補足します。

といいたいんですが、すでにNo.4さんが回答してくださってますね^^;
本来はNo.4さんのように解きます。変数分離という方法で解きます。ここで自然対数をとることで、expの項が導き出されます。
また、同次解をもとめてから特殊解をもとめて、結合するという方法もよくとられます。
微分方程式の解き方はいろいろあるので、詳しくは微分方程式の本を読んでください。ラプラス変換を使っても解けるはずです。

ですが、この1階微分方程式は簡単で有名なものなので、正直このレベルでいちいち解くのはメンドくさいのです。
なので私は「1階微分で元の関数に戻るんだからexpだね」と考えてパッと出してしまいます。
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R*{dq(t)/dt}+q(t)/C=E ...(1)



与えられた式を変形すると
dq/dt=-(1/RC)*(q-CE)

変数を分離して
dq/(q-CE)=-(1/RC)*dt

両辺を積分して
ln(q-CE)={-(1/RC)t}+B

Bは積分定数、B=lnB'とすると都合がいい。
ln(q-CE)-lnB'={-(1/RC)t}

対数の差は比の対数になるので
ln{(q-CE)/B'}={-(1/RC)t}

対数の定義より
(q-CE)/B'=exp{-(1/RC)t}

変形して、
q-CE=B'*exp{-(1/RC)t}

q=CE+B'*exp{-(1/RC)t} ...(2)

t=0のとき q=0になるとすれば、(問題には与えられていないが)
0=CE+B'

これより
B'=-CE

これを(2)に代入して、
q=CE-CE*exp{-(1/RC)t}

q=CE[1-exp{-(1/RC)t}]
となります。
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数学的には同次解と特殊解を別々に解くのが定石だと思います。


ですが、この程度の微分方程式なら過渡解と定常解にわけるのも面倒くさいので一度に解きます。

与えられた式を変形すると
dq/dt=-(1/RC)*(q-CE)・・・・(1)
となりますよね。
ここで、qの頭に何もついていないことに注目してください。(qにゴミ(定数係数)をつけないように変形しました)。
定数の係数みたいなゴミは邪魔くさいので、qと分離しておきます。


(1)を更に変形すると
d(q-CE)/dt=-(1/RC)*(q-CE)・・・・(2)
となります。
(CEは定数のため微分してもゼロ。なので左辺に勝手に付け加えました。微分には線型性があるので、この形に変形しても問題ありませんよね。)

ここまでくれば求められますよね?


一応、微分方程式の解き方をご存じないかもしれないので、感覚的に解いておきます。
(2)をq-CEに着目してみてください。
すると、「q-CEについて1回微分すると(左辺)、元の関数q-CEに戻る」という風に見えませんか?
1回微分しても結局同じ関数に戻る関数です。
こんな関数はもちろん、expですよね。
ここで、1回微分するとゴミ(-1/RC)が出てくることに着目してやると、
どうやらこの関数はA*exp(-t/RC)とおけそうじゃありませんか?
(A*exp(-t/RC)は1回微分すると、ゴミ(-1/RC)が出てくるけど、関数自体は変わらないでしょ?)

なので、
q(t)-CE=A*exp(-t/RC)・・・・(3)と書けます。

これに初期条件を代入して、係数Aを定めてやりましょう。
質問者さんのリンク先には初期条件は与えられていませんが、ふつうRC回路は、t=0の時、q=0です。これを(3)に代入すると
0-CE=Aとなる。つまりA=-CE。
これを(3)に代入して
q(t)-CE=-CE*exp(-t/RC)
ゆえに
q(t)=CE(1-exp(-t/RC))
となります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます
ひとつ質問なんですが
exp^(-t/RC)は予測をつけて出したんですか??
もう少しお願いします
まだ微分方程式は習っていません

お礼日時:2009/05/27 13:45

No1です^^;



7行目についてですが・・・dg(t)/dt→dq(t)/dtに訂正です。
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これは微分方程式です。


質問文の上の式を(1)、その次の式を(2)としますね。

まずは(1)式の左辺が、=0となる場合について考えます。
すると、その式の解は、
q(t)=A*exp(-t/RC) (Aは任意定数)
となります。

これを、(1)式のdg(t)/dtにのみ代入します。
それでq(t)について解けば、
q(t)=CE(1-Aexp(-t/RC))
が得られます。

ここで、q(0)=0ならA=1なので(2)式が得られます。

これが大まかな流れなので、自分で計算してみてくださいね^^
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 + C  -
○─┨┠─┬──●
↑    <  ↑
入    <R  出
力    <  力
○────┴──●

入力電圧をV_i、出力電圧をV_oとします。またキャパシタCに蓄積されている電荷をQとします。
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(dQ/dt)・R = V_o   (2)
も成立します。
(1)(2)を組み合わせると
V_i = (Q/C) + (dQ/dt)・R   (3)
の微分方程式を得ます。

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を得ます。exp(x)はご存じかと思いますがe^xのこと、Aは定数です。解き方が必要なら最後に付けておきましたので参考にして下さい。
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V_i = V = V_o   (5)
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V_o = V exp (-t/CR)   (6)
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V_o

* ←初期値 V        
│*
│ *
│   *         最後は0に漸近する
│      *       ↓
└───┼──────*───*───*───*─→t
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発信機 =
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| >
| <
| >
_______________|

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>原点からの時間を求めると時定数Tを求められるのでしょうか?
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Q測定したデータの誤差を計算する方法

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ほかに標準誤差というのがあるようなのですが、説明を読んでも何を意味している誤差なのか理解できません。
ちなみに、データは以下の通りです。

データ数:60
最高値:39.00
最低値:11.00
平均値:22.56
標準偏差:5.261
標準誤差:0.679(5.261/√60)
標準偏差を誤差と考えると22.56±5.261で、総データの70.0%が含まれます。
標準誤差を誤差と考えると22.56±0.679で、総データの10.0%が含まれます。

回答よろしくお願いします。

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ここで言う標準誤差は,平均値の確度を表す指標です.
(私自身は標準誤差という名称は初めてですが...)
なので母集団の平均の推定値は算出した平均値±α*標準誤差
(αは推定値の信頼度によって変化します.詳しくは
統計の教科書のt-分布のあたりをご覧下さい)

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誤差=測定値-真値
であり,一般に真値は分からないので誤差は分からないことになります.
また何の誤差をお知りになりたいのかも不明です.上のデータが何をあらわしてるのかは不明ですが,
同一のものを60回測定した結果であれば,母集団の平均の推定値がほぼ真値を表しますので,誤差は,ほぼ標準偏差と考えることができるように思います.
一方60個の別のものを測定したとすれば,母集団の平均の推定値は母集団の平均値であり,標準偏差は60個のものの分布を表していることとなり,誤差という話はあまり出てきません.(無理に言えば,製造の誤差と言えなくもありませんが)

Q計算値と理論値の誤差について

交流回路の実験をする前に、ある回路のインピーダンスZ(理論値)を計算で求めたあと、実験をしたあとの測定値を利用して、同じ所のインピーダンスZ(計算値)を求めると理論値と計算値の間で誤差が生じました。
そこでふと思ったのですが、なぜ理論値と計算値の間で誤差が生じるのでしょうか?また、その誤差を無くすことはできるのでしょうか? できるのなら、その方法を教えてください。
あと、その誤差が原因で何か困る事はあるのでしょうか?
教えてください。

Aベストアンサー

LCRのカタログ値に内部損失や許容誤差がありますが、この誤差は
1.Rの抵抗値は±5%、±10%、±20% があり、高精度は±1%、±2%もあります。
2.Cの容量誤差は±20% 、+50%・ー20% などがあり
3.Lもインダクタンス誤差は±20%で、
3.C・Rは理想的なC・Rでは無く、CにL分、Lに抵抗分の損失に繋がる成分があります。
これらの損失に繋がる成分は、試験周波数が高くなると、周波数依存で増大します。
また、周囲温度やLCRの素子自身で発生する自己発熱で特性が変化します。
測定器や測定系にも誤差が発生する要因もあります。
理論値に対する測定値が±5%程度発生するのは常で、実際に問題にならないように、
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こんにちは♪ちょっと質問なんですが、時定数τ=RCっていう公式ありますよね?これってどう考えても単位が合わないですぅ・・・抵抗とコンデンサー容量かけても時間には・・・・気になるので早く教えてくださいお願いします

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[静電容量]=[電荷]/[電圧]
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ですから、
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=([電圧]/[電流])×([電荷]/[電圧])
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=[電荷]/([電荷]/[時間])
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宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

どこかでアッテネ-タプロ-ブの内部構造と
オシロ側の回路をR、Cの関係で簡略化した
図を見てもらうと分かりやすいと思います。


(簡略化して説明すると以下のようになります)
 入力信号に対して、リード線やオシロに
容量の成分があります。コンデンサが並列に
入った回路と同じなので、ローパスフィルターの
ように働きます。
 矩形波や三角波など、正弦波の合成であり
周波数成分があります。
 入力される信号の周波数により、
このコードやオシロ内部の回路の容量から
なるフィルター回路の影響で、周波数成分が
変わり、オシロで見ていると波形が歪んで
しまいまうのです。

 プローブ側には直列にコンデンサが
入っており、これがハイパスフィルター
の役目をします。
 またプローブ側には並列に容量が換えられる
トリマーコンデンサーが入っているので、
この容量を調整することで、ローパスと
ハイパスのバランスがとれ、各周波数成分の
振幅を一定にでき、これにより矩形波などの
周波数成分のバランスが崩れなくなるので、
波形が歪まなくなります。
 ただ、バランスをとるために周波数
全体の振幅は下がることになります。
 どのくらい下がるかは回路によりますが、
測定しやすいよう、10分の1になるように
してあるのです。
 
>1.これは何のためについているのですか?

 以上のように、周波数や波形の条件に
より、オシロの表示波形が歪んでしまう
場合、10:1のほうにすると、プローブ
のところについているトリマーコンデンサー
をまわすことにより、波形の歪みを補正できるのです。

>2.×10にスイッチを切り替えるとオシロスコープに 表示される値を×10にするのですか?

 最近オシロをいじっていないので、ちょっと
自信がありませんが、上の説明のとおり、
プローブを10:1のほうにしていると、
入力信号の振幅が10分の1になっています
から、オシロのほうを×10にするというのが、
振幅を10倍にして見ているのだとすると、
そのままの読みが正しい測定値になると思います。

どこかでアッテネ-タプロ-ブの内部構造と
オシロ側の回路をR、Cの関係で簡略化した
図を見てもらうと分かりやすいと思います。


(簡略化して説明すると以下のようになります)
 入力信号に対して、リード線やオシロに
容量の成分があります。コンデンサが並列に
入った回路と同じなので、ローパスフィルターの
ように働きます。
 矩形波や三角波など、正弦波の合成であり
周波数成分があります。
 入力される信号の周波数により、
このコードやオシロ内部の回路の容量から
なるフィルター...続きを読む

Qエクセルで片対数グラフを作る

エクセルで片対数グラフを作る方法を詳しく教えてください。お願いします。

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グラフの数値軸のところで右クリックして
軸の書式設定(O)→目盛(タブ名)

対数目盛を表示する(L)
にチェックを入れてください。


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