足し算と掛け算の一致

足し算を１から順に足していきます。
掛け算を１から順に掛けていきます。
和と積が一致するのは、下の例以外に存在するでしょうか？

例
１　＝　１

１＋２＋３　＝　１×２×３

１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＋１２＋１３＋１４＋１５　＝　１×２×３×４×５


掛け算は２の倍数と５の倍数によって、下位の桁に０が続くことになることはわかります。

No.4 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/06/02 15:00

難しいね。

とりあえず、見当がつかない。

No.3 は、残念。
1 ～ n の中の偶数で、例えば 6 について、
2 を左辺の偶数に、3 を左辺の奇数に
掛けておくことができる。

この回答へのお礼

なるほど。偶数も分解すれば、奇数成分と偶数成分になる、ということですね。

お礼日時：2009/06/03 08:29

No.3 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/06/02 13:53

　（１～ｍまでの自然数の和）＝（１～ｎまでの自然数の積）

　⇔ ｍ（ｍ＋１）／２　＝　ｎ！

　このようにしたとき、とりあえず、ｎが偶数の時は解がないことが分かります。以下、その説明をします。
　（ちなみに、＃１さんの「ｍ＝・・・」の式は、上の式をｍの２次方程式と見て、ｍ＞０の条件で解いたものですよ。）



　上の式を変形して、次式を得ます。
　　ｍ（ｍ＋１）＝２　ｎ！　　　・・・・☆


　この式をよく見ますと、左辺は「連続する自然数の積」になっていますので、ｍ、ｍ＋１　の一方が奇数で、他方が偶数にならなければなりません。
　次に、右辺ですが、「１～ｎまでの自然数のうち２を２回だけ使った積」を表しています。このような数字の組み合わせで、左辺のような（奇数）×（偶数）とするためには、次の２ケースが考えられます。

　ケース１）
　　（左辺の奇数）＝（１～ｎのうちのすべての奇数の積）
　　（左辺の偶数）＝（１～ｎのうちのすべての偶数の積）×２

　ケース２）
　　（左辺の奇数）＝（１～ｎのうちの奇数の積）
　　（左辺の偶数）＝（１～ｎのうちのすべての偶数の積）×２×（１～ｎのうち、「ケース２」の（左辺の奇数）で用いられなかった残りの奇数の積）


　ここで、ｎ＝２ｋ（ｋ：１以上の整数）として、「ケース１」について考えます。
　　（左辺の奇数）＝（２ｋ－１）！！
　　（左辺の偶数）＝２（２ｋ）！！
　　　　（ただし、「！！」は二重階乗を示す。）

　この式から明らかなように、（左辺の奇数）と（左辺の偶数）について次のことが言えます。
　　　（２ｋ）！！　＞（２ｋ－１）！！
　　　２（２ｋ）！！＞（２ｋ－１）！！
　　∴（左辺の偶数）＞（左辺の奇数）

　ところで、２（２ｋ）！！と（２ｋ－１）！！の差は、ｋが増加するに従って開く一方で、差の最小値はｋ＝１のときの　４－１＝３　です。
　そのため、（左辺の偶数）と（左辺の奇数）が連続した整数になることはありません。


　また、「ケース２」については、「ケース１」に比べて（左辺の奇数）に用いられる奇数の個数が減っているので、

　　　「ケース２」の（左辺の奇数）＜「ケース１」の（左辺の奇数）

となり、「ケース２」では、ますます（左辺の奇数）と（左辺の偶数）との差が開いていて、この場合も（左辺の奇数）と（左辺の偶数）が連続した自然数になることはありません。

　以上のことから、次の結論が得られます。

　　＜ｎが偶数の時は、式☆を満たす自然数ｍ、ｎの解はない＞






　なお、ｎ＝２ｋ＋１（ｋは０以上の整数）の場合については、上記の「ケース２」の場合が考えられ、一筋縄ではいかないようです。
　いろいろと考えていますが、うまい方法が見つかりません。
　とりあえず　＃１さんと同じアルゴリズムで計算してみたところ、

　　　＜　ｎ≦５００　では　ｎ＝１，３，５以外の解はない　＞

ようです。

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/06/02 12:49

>平方根が取れれば、成り立つということでしょうかね。

......

そうなのですけど、すぐにスゴイ桁数となって、おハナシになりません。
目の前のパソコンに、多重桁の勘定機能がありません。トホホホホ…。

式そのものは、アホみたいなレベルです。
m までの和と、n までの階乗が等しいという、
　　m*(m+1)/2 = n!
の二次式の(非負)解なのですが…。

　

この回答への補足

私も自分で計算して、あれ、これって、等差数列の和の公式を使っているだけだ！と思いました。でも、これって一般化できますよね。つまり、階乗を含む多項式で、平方数になるのは、どれくらいあるか、という問いに一般化するのです。今回の場合は、８×ｎ！＋１が平方数になるのは、何個あるのか、という問いに置き換わります。当たり前ですが、ｎ！はｎ＝１の時しか、平方数にはなりませんよね。ｎ！＋１であれば、ｎ＝４、５が思いつきますが、それ以外はわかりません。ｎ！を含む多項式が平方数になるのが有限個しかないという定理があればいいのですけどね。

補足日時：2009/06/02 13:07

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/06/02 09:06

m までの和と、n までの階乗が等しければ、

　m = {SQRT(8*n! + 1)-1}/2
が成立つはず。
…などと、スプレッド・シートで試しましたが、桁不足ですぐへたりました。

例示されたものしか、わかりません。
細腕の限界！
　

この回答へのお礼

アドバイスありがとうございます。
平方根が取れれば、成り立つということでしょうかね。

ところで、どのようにして、その式を導出されたのでしょうか？
その式が正しいならば、少し前進したのではないかと思います。

お礼日時：2009/06/02 12:02