二回連続微分可能な関数

閉区間［a、b］を含むある開区間上で定義された実数値関数f（x）が二回連続微
分可能で、任意の点x∈［a、b］において、f''（x）≧0とする。このとき、次の
問に答えよ。

（1）任意のc∈［a、b］に対して、次の不等式が成立することを証明せよ。
（b-c）f（a）+（c-a）f（b）≧（b-a）f（c）

（2）（1）の不等式で、真に不等号>が成立するのはどんな場合か。


（1）について。この不等式は、直線acの傾きより直線cbの傾きの方が大きいとい
うことがわかれば導けますね。しかし、わかっている情報は
f''（x）≧0である⇔f'（x）が単調増加→点aにおけるf（x）の接線の傾きより、
点bにおける接線の傾きの方が大きい、あるいは同じ、ということです。直線acと
直線cbは接線ではないけれど、このような判断を下せる根拠はどこにありますか
？

（2）について。
『f'（x）が狭義単調増加のとき』でいいのでしょうか？それとも、この問題はも
っと高度なことを聞いているのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/06/03 19:12

>(1）について。

この不等式は、直線acの傾きより直線cbの傾きの方が大きいということがわかれば導けます

この二つの傾きを比較するには平均値の定理を使用すればよい。
f'(d)={f(c)-f(a)}/(c-a)　となるdが(a,c)内に必ず存在します。
同様にf'(e)={f(b)-f(c)}/(b-c)となるeが(c,b)内に必ず存在します。
f'(d)とf'(e)の比較は言うまでも無いでしょう。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87% …