場合の数(円順列)

赤玉1個、青玉2個、黒玉1個、白玉3個の計7個を円形に並べる。どの2個の白玉も隣り合わない並べ方は何通りあるか？

という問題です。

白が3個隣り合う場合と2個隣り合う場合で場合わけをしてみたのですがうまくいきませんでした。
というより解き方がよくわかりません。

教えてください。


ちなみに答えは１２通りです。

No.2 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2009/06/08 23:23

回答ですので、どうしても分からないときに読んでください。

隣合わないというときの定石は、それを後から挿入することです。

【白以外の並べ方】
赤１，青２，黒１の４個を並べる順列は4×3×2×1／2＝12（とおり）。
２で割っているのは、青2個を区別しないからです。
現在、これは円上に並んでおりますので、始点を限定しません。
４個のうちどれでも始点になりますので、4で割ります。
円順列は12／4＝３（とおり）になります。
【白の挿入のしかた】
赤青黒、これら４個の隙間は４箇所あります。
この隙間に白を重複を許さず挿入します。
４箇所から３個を選ぶ組み合わせになります。
4C3＝4×3×2／3×2×1＝4（とおり）です。
【全ての場合の数】
全ての場合の数は、３×4＝12（とおり）です。

No.3 回答者： Ishiwara 回答日時： 2009/06/09 15:25

赤を固定します。

そして、青玉と白玉に番号をつけます。すると赤を除く６個でふつうの順列を数えるのと同じです。

次に青玉と白玉の番号を消すと、青同士、白同士で交換可能になった分だけ順列は減ります。

つまり、６個の順列６！を２！で割り、さらに３！で割ると答になります。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/06/08 22:05

このような場合は、数が少ないもの、つまり赤の位置を固定して考えます。

次に、白以外の青2個と黒1個を並べる通りの数をカウントします。

次に、それぞれの並べ方について白を追加する方法の数を考えます。
白が隣り合わないように並べるためには、白玉をすでに並べられている玉の間に最大1個しか入れないということです。

4個の玉が置かれていますので、それぞれの玉の間は4箇所、その中から3箇所選んで玉を置く通りの数ですからこれは簡単に計算できます。

後は、最初に求めた白以外の並べ方の数と、その間に白を置く通りの数をかければよい。