行列式の計算がわかりません。

見ていただきありがとうございます。

問題はこちらです、
次の行列式を求めよ。
｜a b b b b｜
│b a b b b｜
｜b b a b b｜
｜b b b a b｜
｜b b b b a｜
がわかりません。
余因数展開を使うのはわかってますが、
どうしてもできません。
わかる方がいましたら、回答よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/07/18 01:19

Σを使った成分計算による

行列式の定義を思い出してみると、
その行列式が a,b の 5 次多項式
であることが判ります。

あとは、
a=b≠0 のとき行列の rank が 1 になる
ことから (a-b)~4 で割りきれ、
a=-4b≠0 のとき行列の rank が 4 になる
ことから (a+4b) で割りきれる
式であることも。

よって、与式=C(a+4b)(a-b)~4 となる
定数 C がありますが、
a=1, b=0 でも代入してみれば、
C=1 が求まります。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/07/18 00:46

｜a b b b b｜

│b a b b b｜
｜b b a b b｜ 2～5行目を1行目に加えて(a+4b)で括る
｜b b b a b｜
｜b b b b a｜=(a+4b)*
｜1 1 1 1 1｜
│b a b b b｜
｜b b a b b｜ 1行目を-b倍して2～5行目から引く
｜b b b a b｜
｜b b b b a｜=(a+4b)*
｜1 1 1 1 1｜
│0 a-b 0 0 0｜
｜0 0 a-b 0 0｜
｜0 0 0 a-b 0｜
｜0 0 0 0 a-b|=(a+4b)(a-b)^4*
｜1 1 1 1 1｜
│0 1 0 0 0｜
｜0 0 1 0 0｜ 2行目～5行目を-1倍して1行目に加える
｜0 0 0 1 0｜
｜0 0 0 0 1｜=(a+4b)(a-b)^4*
｜1 0 0 0 0｜
│0 1 0 0 0｜
｜0 0 1 0 0｜
｜0 0 0 1 0｜
｜0 0 0 0 1｜=(a+4b)(a-b)^4 //

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/07/18 00:13

各行に a が 1個と b が 4個あります.

なので, 2～5列目を 1列目に加えると, 1列目は全て a+4b になります. そこでこの a+4b をくくりだしておき, 1行目を 2～5行目からひけば終わり.