開集合がコンパクトでない理由

コンパクトとは、有限と無限に関するもの（有界閉集合）である
ことは何となく分かっているつもりです。

しかし、開集合がコンパクトでない理由がいまいち分かりません。
たとえば、よく教科書に掲載されている例として
開区間(-1,1)を、Xn=(-n/(n+1),n/(n+1)) (n∈N) 　※Nは自然数全体
で覆うというものがあり、これは有限部分被覆を持たないというものです。

でも、Xnの最後は(-1,1)なので、この一つをとりだせば
それだけで有限被覆となると思います。
この矛盾はどこから来るのか分かりません。

どなたか、ご教授ねがいます。

No.2 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/07/19 10:15

＞(-1,1)にならないといことは、やはり、Xnは(-1,1)の開被覆ではないということになってしまいます。

なりません．質問者はεδや無限に対する理解が
かなり怪しいのでしょう．

(-1,1)にならなくたって被覆です．
たとえば，εを-0.99999 にしましょう．
nをものすごーく大きくする，たとえば, n=100000にすると
n/(n+1)=0.999990000099...
となるので
(-n/(n+1),(n/(n+1))にεは含まれるのです．
(-1,1)に含まれるどんな数をもってきても
このようにその数を含む(-n/(n+1),(n/(n+1))を
必ずとることができます
＃ε=n/(n+1)をnについてといて
＃それ以上の整数をとればよい．

したがって，{Xn}は(-1,1)の開被覆です．

しかし，どんなにがんばっても有限個で覆うことはできません．
有限個でとめたとしたら，
n/(n+1)は1にはなれないので，n/(n+1)と1の間の数が
こぼれてしまうのです．
こういうのを「稠密性」というのでした．

ちなみに
＞コンパクトとは、有限と無限に関するもの（有界閉集合）である
＞ことは何となく分かっているつもりです。
この理解は明らかな誤りですので
正しく理解しましょう．
有限と無限，有界はそれほどは関係しません．
ちなみに，コンパクトと有界閉集合は別の概念であり，
ある特定の条件において同値であるということも
理解しましょう．

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/07/19 12:30

#1のものです。

(-1,1)の中の要素1-ε1 (0<ε<1)を考えます。
1-ε1がXnに含まれるためには
1-ε1<n/(n+1)
を満たせばよいことになります。
つまり、n>(1/ε1)-1 なるnをとればよい。
もし、nが全ての自然数を取れるのであれば、この不等式を満たすnはε1がどんなに小さくても必ず存在します。
つまり、"((-1,1)の中で)1"の近傍、どれだけ1に近い数でもXnで被覆することが可能です。

しかし、nの個数が有限であるとするとその中の最大の物をNとすると
ε2<1/(N+1)となるε2を持ってくると1-ε2はXnで覆うことができなくなります。つまり、有限のXnの組で被覆することはできません。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/07/19 01:11

>でも、Xnの最後は(-1,1)なので、この一つをとりだせば

>それだけで有限被覆となると思います。

Xn=(-n/(n+1),n/(n+1)) (n∈N) でnを何にしても(-1,1)にすることはできません。
確かにn→∞の極限X∞は(-1,1)ですが、∞なる自然数が存在するわけではありません。Xnに最後なるものは存在せず、(-1,1)に近づきますが絶対に一致することはありません。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

＞Xnに最後なるものは存在せず、(-1,1)に近づきますが絶対に一致することはありません。

(-1,1)にならないということは、そもそもXnは(-1,1)の開被覆ではないということですか？
開集合とは、その要素に近傍が必ずあるのが定義ですから、
(-1,1)にならないといことは、やはり、Xnは(-1,1)の開被覆ではないということになってしまいます。

補足日時：2009/07/19 09:08