運動エネルギー

中三男子です。
なぜ　Uk=1/2mv＾2　になるのでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： Willyt 回答日時： 2009/07/23 15:05

＃４です。

ちょっと分りづらかったかな？　縦軸のｍＶは運動量になります。このグラフの横軸の任意のＶの点から幅ΔＶの短冊状の柱をグラフの斜線まで立てるとその短冊の面積がｍＶ・ΔＶになりますね。これは物体が速度ＶからΔＶだけ速度が増えたときのエネルギーの増分を表わしますから、このような短冊を０からＶまでびっしりと並べると、その短冊の総和が運動エネルギーを表わすことになりますね。つまりはそのびっしり並んだ短冊の幅を無限に細くすると、底辺Ｖ　高さｍＶの直角三角形になり、その面積がｍＶ＾２／２になるというわけです。

この回答へのお礼

イメージできました！
Willytさん専門家とあるように教師みたいですね

お礼日時：2009/07/23 16:26

No.4 回答者： Willyt 回答日時： 2009/07/22 15:22

エネルギーは力×移動距離で表わされますね。

すると短い時間Δｔの間の移動距離はＶΔｔですから
Ｗ＝Ｆ・ＶΔｔとなります。一方Ｆ＝ｍａ＝ｍΔＶ/Δｔですから、
Ｗ＝ｍＶΔＶとなりますね。これはＶがΔｖだけ速度が増えたときのエネルギー増分になります。
ここで縦軸にｍＶ　横軸にＶを取ったグラフを書くと、加速度Ｖが一定ならそのグラフは原点から傾きがｍの直線になります。そこでｍＶΔＶは横軸にＶだけ原点から離れた場所に建てた幅ΔＶの鉛直な柱の高さがｍＶになり、この柱の面積は上式のエネルギーの大きさを表わしていることがになるますね。そうすると速度がゼロからＶまで増えたときのエネルギーはこのような沢山の柱の全面積ですから、直線と柱とｘ軸が作る直角三角形の面積になることは分るでしょう。そしてその面積がその物体が得たエネルギーになりますからＳ＝１/２・ｍＶ・Ｖ＝与式となるでしょう？

この回答へのお礼

ちょっとよく解かりませんでしたが
このやり方は他の問題にも応用できそうだったので、やってみます

お礼日時：2009/07/23 12:20

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2009/07/22 14:59

エネルギーは仕事で定義されます。

（力によってされた仕事）＝（加えられた力）×（その力で移動した距離）

です。仕事をすればした方からされた方にエネルギーが移るのです。
仕事をされた方はエネルギーが増えます。そのエネルギーをまた別の仕事に利用することが出来ます。
エネルギーには色々種類があります。どういう量に関係するかによって変わるのです。エネルギーは異なる種類のエネルギーに移り変わることも出来ます。
力と仕事に結びつきやすいエネルギーは位置エネルギーです。
重力ｍｇに等しい力でｈだけ持ち上げればした仕事はｍｇｈになります。ｈだけ高いところに持ち上げられた質量ｍの物体はｍｇｈだけエネルギーが増えたのです。この物体が落下して元の高さの位置に戻ったとします。位置エネルギーは初めと同じ値になります。仕事をされてｍｇｈだけエネルギーを余分に持っていたはずです。それはどこに行ったのでしょう。ｈ落下した事によって速さがｖになっています。運動エネルギーに変わっています。
ｈ落下した時の速さｖは加速度が分かれば出てきます。
ｖ＝ｇｔ
ｈ＝(1/2)ｇｔ^2
ｔを消去すると
ｈ＝(1/2)ｇ(ｖ／ｇ)^2　　（１）
です。
このｈを位置エネルギーの表現ｍｇｈに代入すれば
運動エネルギーが
(1/2)ｍｖ^2　　　（２）
であることがでてきます。

（１）の式は落下運動が加速度一定の運動であるということしか使っていません。運動エネルギーの表現は前提にしていません。エネルギーが移り変わること、エネルギーの全体は変わらないことを認めると運動エネルギーの表現は（２）にならなければいけないのです。
その元にはされた仕事で位置エネルギーを求めるという作業が入っています。こういうことから「エネルギーは仕事をしうる能力である」という定義がでてきます。この定義は高等学校の物理の教科書には載っているものです。

加速度運動は高校物理の最初に出てきます。でも中学校だと出てこないかもしれませんね。
その場合は運動エネルギーの表現を使う場面はないはずです。
質量と速度に関係するというだけで充分です。

この回答へのお礼

高校物理は楽しそうなことがたくさん書いてありそうですね
受験勉強がんばります

お礼日時：2009/07/23 12:14

No.2 回答者： lycaon 回答日時： 2009/07/22 14:57

読者は中学生だけではなく、折角の良い（と言うよりも、素晴らしい）質問ですから、高校レベルで説明します。

運動エネルギーの式：Ｕ＝（1/2）ｍ・ｖ^2　・・・(1)

■質量ｍ(kg)で速さＶ(m/s)で動いている物体は、止まるまでに（1/2）ｍ・ｖ^2 の「仕事」を他の物体に対して行うことができます。■

運動する物体にとって、「仕事(J)」とは「力(N)×距離(m)」のことです。（仕事の定義）
「力Ｆ(N)」とは、ニュートンの第２法則（経験則）「質量ｍ(kg)×加速度ａ(m/s^2)」のことです。
●Ｆ＝ｍ・ａ・・・(2)　
距離をｘ(m)とすると、仕事Ｗ(J)は、
●Ｗ＝Ｆ・ｘ・・・(3)

質量ｍ(kg)で速さＶ(m/s)で動いている物体を止めるには、物体の進行方向と逆の方向に、力Ｆ(N)を物体が止まるまで加え続ける必要があります。
高校では
Ｖ＝Ｖ0＋ａ・ｔ
と
ｘ＝Ｖ0・ｔ＋(1/2)ａ・ｔ^2
の2つの式から時間ｔを消去して、
●Ｖ^2－Ｖ0^2＝2ａ・ｘ・・・(4)
の式を出します。

(4)の式で、初期速度Ｖ0 が(1)のｖに対応し、(4)式のＶは、運動停止後に0になります。すると
－ｖ^2＝2ａ・ｘ、ここで負の加速度は見づらいのでａの絶対値を改めてａと置くと、
ｘ＝ｖ^2/(２ａ)
これを(1)(2)に入れて　Ｗ＝Ｆ・ｘ＝ｍ・ａ・ｘ＝ｍ・ａ・ｖ^2/(２ａ)＝(1/2)ｍ・ｖ＾2
これは、（1）の右辺そのものです。

質量ｍ、速度ｖの物体は、止まるまでにこれだけの「仕事」を他の物体に行うことができるので、これをこの物体の「運動エネルギー」としています。

この回答へのお礼

高校に入ったらまた見ることにします
ありがとうございました

お礼日時：2009/07/23 12:16

No.1 回答者： MVX250F001 回答日時： 2009/07/22 13:58

運動の状態を微分方程式という数学で表し、それを解くとその式が導かれます

なぜそうなるのかを理解するには物理の言葉である数学を理解する必要がありますが、中学校の範囲は越えていますので今の数学を完全にマスターしてから先に進めば容易に理解できるでしょう

この回答へのお礼

受験勉強がんばります

お礼日時：2009/07/23 12:22