偏微分の極値が。。八十八カ所めぐりします。。

関数 (x^2+y^2-1)^2　の極値を求めたいんですが。。

偏微分D＝fxx^2 -fxy*fyx
を計算すると、
x^2+y^2=1
となって
円！？ΣΣ
極値がしぼりこめません。。

日本語がへたでうまく伝わらなかったらごめんなさい。。

どうかおねがいします

No.4 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/07/25 01:19

>D＝fxx^2 -fxy*fyx

この判別式、間違っていませんか？

D＝fxx*fyy -fxy*fyx=15(x^2+y^2-1)(3x^2+3y^2-1)≧0
は
x^2+y^2=1
を満たすすべての(x,y)で　D=0になる。この時、fx=fy=0となる。
D=0の場合は個別に扱わないといけないですね。
x^2+y^2=1でf(x,y)=0となって丁度、谷の底の曲線となっていますので
極値の定義
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/ca …
から
x^2+y^2=1
を満たすすべての点(x,y)は定義を満たさず、極値（今の場合は極小値）とはいえません。

他にfx=fy=0とする点(0,0)がありますが
参考URLの定理6.7によれば、この点で
D＝△>0,A<0
を満たすので関数(f(x,y)は(0,0)で極大値を取りますね。

参考URL：http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/ca …

この回答へのお礼

与式のグラフがいままで想像できなかったんですが、
そうゆうことだったんですね！！

確かに！
定理を思い返せば、円では、定義を完全に満たしませんね！
高校生レベルです苦笑

判別式…ΣΣ
わたしのタイプミスです苦笑
紙の上の計算ではちゃんとできていますたぶん；

グラフつきで細かく、大変助かりました
ありがとうございます！

お礼日時：2009/07/25 12:01

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2009/07/25 09:20

狭義の極大は(0,0)で問題ないとおもいます。

あと候補としてはx^2+y^2-1=0と(0,±1)(±1,0)ですが後者の２つは前者に含まれます。今回はこれが極値であることは次のように自明です。
すなわち f=(x^2+y^2-1)^2　≧ 0 で　x^2+y^2-1=0　のときは f=0 だからです。

この回答へのお礼

この与式でグラフを思い描けられたら
このように考えられますね！
頭の中はカチコチなので、グラフが考えられなくて…汗

ありがとうございます！

お礼日時：2009/07/25 12:27

No.3 回答者： asymptote 回答日時： 2009/07/25 00:37

なんだか僕の言ってることがおかしいみたいなんで、スルーしてください。

この回答へのお礼

いえ！
ありがとうございます！
問題をこなしていないので
もうちょっと勉強してからまた読んでみます；

お礼日時：2009/07/25 12:04

No.2 回答者： asymptote 回答日時： 2009/07/25 00:33

とりあえず∂f/∂x=4x(x^2+y^2-1)

でヘッシアンがx^2+y^2-1 になるか。
ヘッシアン＝０だったらこの方法では判定できないし、等号で結ぶのは違うのでは？

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/07/25 00:20

「八十八カ所」とは、円だからという意味でしょうか？(笑)

きちんと解けていると思います。

円周上の点が極値を与えています。
ただし、他にも極値を与える「点」が存在します。
極大・極小の判別が必要ですね。
グラフの概形をイメージした方がわかりやすいですね。
もとの関数は対称な式ですので、グラフも対称なものになるはずです。

この回答へのお礼

円だから、こんがらがったんです(笑)

イメージすることも大切なんですね
これからも参考にします！
ありがとうございます！！

お礼日時：2009/07/25 11:41