ベクトル問題の疑問

Question

●数IIB、チャート式（黄チャート）平成19年9月1日発行。３３３ページ。基本例題32

△OABにおいて、辺OAを ２：１ に内分する点をP、辺OBを ３：２ に内分
する点をQとする。また、線分AQ、BPの交点をR、線分ORの延長が辺AB
と交わる点をSとし、↑OA＝↑a、↑OB＝↑ｂ　とする。
（１）↑ORを↑a、↑ｂ を用いて表せ。


この問題の解法の最初のところで、　
↑OR＝ｘ↑OA ＋ y↑OBとする。
↑OQ＝３/５↑OB　であるから、　　　↑OR＝ｘ↑OA＋５/３ｙ↑OQ　・・・（あ）

と解説があるのですが、これはこれで読めばわかります。

が、はじめてこの問題を解いてみたとき、
↑OQ＝３/５↑OB　であるから、　　

　↑OR＝ｘ↑OA＋３/５ｙ↑OB　・・・（い）

として解きました。

正解は、↑OR＝４/９↑a + １/３↑ｂ　なのですが、
答えが合いませんでした。


質問ですが、（い）とすればなぜ正解がでてこないのか、なぜ（い）と最初におかないのか、
いまひとつ理由がハッキリのみこめません。
どなたか教えてください。
（い）とおくのは、こういうふうに考えてのことだから、そう考えるのはこういう理由でおかしいのでは、、、といったようなかんじで、、、


ちなみに、同様の問題が、数IIB、チャート式（青チャート）平成19年9月1日発行。３４６ページ。基本例題２２
にもありますが、解法が違っています。これはこれでわかりますが、今知りたいのは、上の解法の
（い）とはおかずに（あ）とする理由、その1点です。

よろしくお願いします。

htms42 · Accepted Answer

あなたの方法は
ＯＲ＝ｘＯＡ＋ｙＯＱ　（ｘ＋ｙ＝１）（い）
とおいて解くものですね。
（ベクトルの記号↑を省いています。）
これで出来るはずです。
この後どういう風にしてやったかがわからないのですが
（い）と置いたことが悪いのではなくてこれに続くところで間違っているのではないですか。
私のやり方でやってみます。
ＯＲ＝ｕＯＰ＋ｖＯＢ　　（ｕ＋ｖ＝１）　（う）
Ｒは２つの線の交点ですから（い）と（う）は同じ内容にならなければいけません。
ＯＱ＝３／５ＯＢ
ＯＰ＝２／３ＯＡ
を入れてベクトルを共通にします。
ＯＲ＝ｘＯＡ＋(３／５)ｙＯＢ
　　＝(２／３)ｕＯＡ＋ｖＯＢ
同じ式になるということで
ｘ＝(２／３)ｕ
(３／５)ｙ＝ｖ
これと
ｘ＋ｙ＝１
ｕ＋ｖ＝１
をあわせて解くと
ＯＲ＝(４／９)ＯＡ＋(１／３)ＯＢがでてきます。

私は交点が出てくるときはいつもこのやり方です。
２つの表し方が一致すると考えるのです。

R_Earl · Answer

ANo.1です。お待たせしました。

************************************************************
↑OR = x(↑OA) + y(↑OQ) …… (1)
とおく(結局この式は(い)と同じ)。
この(1)式を元に、次の二つを考える。

[a] 点Rが直線AQ上にあることを表す式
[b] 点Rが直線PB上にあることを表す式

[a] 点Rが直線AQ上にあることを表す式
(1)式においてx + y = 1なら、
それはそのまま「点Rが直線AQ上にあることを表す式」になっている。
よってx + y = 1 …… (2)

[b] 点Rが直線PB上にあることを表す式
(1)式を変形して、↑OPと↑OBのみで表せられる式に変形する。

↑OR
= x(↑OA) + y(↑OQ) 
= x{(3/2)(↑OP)} + y(↑OQ)
= (3x/2)(↑OP) + y(↑OQ)
= (3x/2)(↑OP) + y{(3/5)(↑OB)}
= (3x/2)(↑OP) + (3y/5)(↑OB)

よって
↑OR = (3x/2)(↑OP) + (3y/5)(↑OB)
となる。
(3x/2) + (3y/5) = 1なら、
これは点Rが直線PB上にあることを表す式になっている。
よって(3x/2) + (3y/5) = 1 …… (3)

[a], [b]の(2), (3)より連立方程式

x + y = 1
(3x/2) + (3y/5) = 1

ができあがり、これを解くとx = 4/9, y = 1/3となる。
これを(1)式に代入して

↑OR
= (4/9)(↑OA) + (5/9)(↑OQ)
= (4/9)(↑OA) + (5/9){(3/5)(↑OB)}
= (4/9)(↑OA) + (1/3)(↑OB)

となる。
************************************************************

平面上に2本のベクトル↑aと↑bがあれば、
平面上の点Cの位置ベクトル↑cは
↑c = x(↑a) + y(↑b)
で表されます(公式1とおいておきます)。

特に点Cが直線AB上にある時、
↑c = x(↑a) + y(↑b)　(ただしx + y = 1)
となります(公式2とおきます)。

公式1を利用して点Rを指すベクトルの式を作っているのが(1)です
(公式2ではないことに注意して下さい)。
この公式1を利用して作った(1)式を変形し、
公式2の形になるようにするというのがチャート式の解法になっています
([a], [b]で(2)式, (3)式を作っているのがその過程です)。

htms42 · Answer

＃４、＃５です。
ＡＱ上の点ＲをＯＡ，ＯＱで表す式は
ＯＲ＝ｘＯＡ＋ｙＯＱ（ｘ＋ｙ＝１）

もしかしたらこの式を公式として受け取っているのではないでしょうか。（余計なことかも知れませんがちょっと気になりました。）

「ＡＱを引く」とあればＡＱを作ればいいのです。
Ｒがその上の点であれば
ＯＲ＝ＯＡ＋ｔＡＱ　　（０＜ｔ＜１）
とすればいいのです。
ＡＱ＝ＯＱ－ＯＡ
を代入して
ＯＲ＝(１－ｔ)ＯＡ＋ｔＯＱ
です。ｘ、ｙで表す式というのはこれを変形したものです。
図を書くのと同じような流れで式を作っていくのであればいきなり、ｘ、ｙを使うのでは名うてこのようにｔを使うほうがいいでしょう。
ＰＢ上ということであれば
ＯＲ＝ＯＰ＋ｓＰＢ
　　＝(１－ｓ)ＯＰ＋ｓＯＢ　　（０＜ｓ＜１）
です。
（ｔ＞１ならＡＱの延長線上の点をあらわしている事になります。ｔ＜０ならＱＡの延長線上にあります。これはｘ、ｙで表すよりもイメージが取りやすいでしょう。）

問題文にあるとおり図を書いていくのであれば
線分を１つずつベクトルで表していくというのが素直なんです。
交わっていればそこで表現が一致するはずです。
どういう方向に変形していくかは問題で問われている内容によって変わります。
でも出発点は問題にある指示の通りに作図するところから始まります。

R_Earl · Answer

ANo.1です。
質問者さんが間違えている原因が分かってきました。

> ↑OQ＝３/５↑OB　であるから、　　
> 　↑OR＝ｘ↑OA＋３/５ｙ↑OB　・・・（い）
> これで答えがでる、というのがよくわかりません。
> 
> このようにおけば
> 　（い）・・・↑OR＝ｘ↑OA＋３/５ｙ↑OB
> は、↑OR＝ｘ↑OA＋ｙ（３/５↑OB）　　と見るしかなく、
> （う）・・・↑OR＝２/３x↑OA＋y↑OB　
> は、↑OR＝x（２/３↑OA）＋y↑OB　　と見るしかなく、
> 結果的にそこからは　x＋y＝１　しかでてこないような気が、、、

質問者さんが間違えている原因は、
「異なるものを同じ文字式でおいているから」です。

直線AB上に点Cがある時、点Cの位置ベクトルは
↑OC = x(↑OA) + y(↑OB)　(ただしx + y = 1)
となるという公式はあります。
おそらくですが、質問者さんはこれを今回の問題に当てはめて

[1] 点Rは直線AQ上にある
↑OR = x(↑OA) + y(↑OQ)　(ただしx + y = 1)

[2] 点Rは直線PB上にある
↑OR = x(↑OP) + y(↑OB)　(ただしx + y = 1)

と考えたのではないでしょうか？
それが誤りです。

実は「公式で使われている文字式」と「方程式の文字式」は別物なんです。
例えば二次関数の解の公式を考えてください。
ax^2 + bx + c = 0の解はx = { -b ± √(b^2 - 4ac) } / (2a)となるという公式があります。
でも、この公式を使う時、問題ごとに異なる値をa, b, cに代入して使うことになります。
2x^2 + 3x - 5 = 0の解を求めたい時はa = 2, b = 3, c = -5を代入して公式を使いますし、
5x^2 - x + 3 = 0の解を求めたい時はa = 5, b = -1, c = 3を代入して公式を使います。
このように、「公式の文字式というのは使う度に違う値を用いる」んです。

今回の問題もそうです。
[1]の場合と[2]の場合とでは、「異なるものに公式を当てはめる」ということをしています。
なので[1]に公式を適用した時のx, yと、
[2]に公式を適用した時のx, yは本来別物なんです。
質問さんが正解を導けない原因は、
この本来別物の「公式の文字式」をあたかも同一の文字式と見なしていることです。

本来別物なので、[1]と[2]を表現するんだったら、

[1] 点Rは直線AQ上にある
↑OR = x(↑OA) + y(↑OQ)　(ただしx + y = 1)

[2] 点Rは直線PB上にある
↑OR = u(↑OP) + v(↑OB)　(ただしu + v = 1)

のように異なる文字式を用いる必要があります
(ANo.5の方の方法と同じになると思います)。


時間がないので、とりあえず間違いの原因だけを書いてみました。
チャート式と同様の解法を用いて(い)式から答えを導く方法については、また今度書きます。

htms42 · Answer

＃４です。
ＲはＡＱとＢＰの交点です。
ＡＱ上にある点をＯＡ，ＯＱで表す、
ＢＰ上にある点をＯＢ，ＯＰで表す
というのは素直な発想だと思います。
それを私は
↑ＯＲ＝ｘ↑ＯＡ＋ｙ↑ＯＱ　　（い）
　　　＝ｕ↑ＯＰ＋ｖ↑ＯＢ　　（う）
としました。
両方共を１組の変数ｘ、ｙで表すというのは無理があります。
間違いが生じる原因になります。（別のところでの計算が必要になってきます。）
２本の線の交点ですから必ず２本の線を現す式が必要です。
（質問文の中に（い）しか書かれていないということで（い）（う）がワンセットだという考えに至っていないのではないかなという風に思っていました。）

チャートの解法は最終結果が↑ＯＡ，↑ＯＢで表すことを要求しているのに合わせたものです。そこから逆に（い）（う）に戻ってくる流れになっています。（この戻るところがややこしいのです。間違う原因になります。）
結果を見越すということは大事な発想でしょうが、素直な流れでなければ、結局別のところで計算が必要であったり、間違いが起こりやすくなったりします。

aidlii · Answer

チャートの解法がどうなっているか、一部分では判断できないところもあるのですが、恐らくＲが直線ＡＱ上にあるということを利用するためではないですか。Ｒが直線ＡＢ上にあれば（い）でもよいでしょうが、直線ＡＱ上にあるから、（あ）の形にして、
　ｘ＋５/３ｙ＝１
に話をもっていく。そういうことではないでしょうか。
　つまり下の公式を利用する変形ということではないかと思います。
　公式　点Pが直線AB上にあるとき
　　　↑OP＝ｓ↑OA＋ｔ↑OBとするとｓ＋ｔ＝１

Tacosan · Answer

#1 に同意. どちらで計算しても同じ結果が出るはずです.
ちなみに個人的には (い) でおく. なんとなく (あ) は不自然な感じ.

R_Earl · Answer

> 質問ですが、（い）とすればなぜ正解がでてこないのか、なぜ（い）と最初におかないのか、
> いまひとつ理由がハッキリのみこめません。 

(い)とおいても答えは出ます。
間違っているとしたら、その先の計算過程だと思います。

文字式yの役割を途中で変えていませんか？
「ベクトルORを作るために、ベクトルOQをy倍する」というのが文字式yの役割ですよね。
この役割を途中から「ベクトルOBをy倍する」という風に変えて式を作っていませんか？

もしよろしければ、どのような計算でベクトルORを算出したのかを教えてください。

ベクトル問題の疑問

あなたの方法は

この回答への補足

ANo.1です。

＃４、＃５です。

ANo.1です。

＃４です。

チャートの解法がどうなっているか、一部分では判断できないところもあるのですが、恐らくＲが直線ＡＱ上にあるということを利用するためではないですか。

#1 に同意. どちらで計算しても同じ結果が出るはずです.

> 質問ですが、（い）とすればなぜ正解がでてこないのか、なぜ（い）と最初におかないのか、

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