面積が出せず困っています・・。

小学生の娘の宿題なんですが、解法が解らず困っています。

問題
８ｃｍ離れた平行線内に、中心が一直線上にある同じ大きさの円が２つ、２cmずれて重なっています。色の着いた部分の面積を求めなさい。

三平方の定理や微分積分を利用すれば解けるのですが、小学生の学習範囲内で説明出来ません・・。

ご存知の方いらっしゃいましたら説明の程よろしくお願い致します。

No.7 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/08/30 22:41

#1,#4です。

A#4の補足の回答
>>■もし、上下の小さな山形の部分が色づけになっていないなら、答えに逆三角関数や平方根が入るため、小学生の理解の範囲を超えます。

>上下の山形部分は面積に含まれません。
>また私が出した面積は、おおむねNo3のかたがおっしゃっている数と同じよう
>になりました。

小学生には無理ですね。
上下の小さい山形部分の面積Sはあわせて
　S=16-32arcsin(1/4)-2√(15)≒0.1682651 cm^2
したがって、求める面積S1は
S1=16-S=32arcsin(1/4)+2√15≒15.8317349 cm^2
となりますので#3さんの結果とも一致していますね。

この回答へのお礼

この度はご回答有難う御座いました！

結論と致しましては、大変申し訳ない話なのですが、

「教師の作図ミス」と言う事で、上下の山形部分も面積に含まれ、よって面積は約16平方cm、って事になったそうです・・。

本当にご協力有難う御座いました！

お礼日時：2009/09/03 03:20

No.6 回答者： sono0315 回答日時： 2009/08/30 10:46

＃５です。

1cm幅だとちょっとマスが荒いように感じました。

0.5cm間隔に刻んだものです。

この回答へのお礼

解りやすい図を有難う御座います！

中学受験の為の問題との事で、πまでは使えるみたいです。
おおよその面積からもう少し具体的な数字に持っていけないか再度解いてみます。

お礼日時：2009/08/30 16:41

No.5 回答者： sono0315 回答日時： 2009/08/30 10:39

http://www.kennya.jp/gakunen/6_oyo.html

皆さんが言う方法は小学生には無理です。でも実は
上のURLにあるように小学生のときに求めているおよその
面積というのは高校でも大学でも到底できそうにない変な
形のものでも求めることができています。

一マスあたり1cmとしておよその面積を出してみましょう。
ちなみに小5～小6のレベルです

No.4 回答者： info22 回答日時： 2009/08/30 03:52

#1です。

A#1で問題について不確実な箇所の質問をしましたが、質問者からの応答がありませんね。質問しておいて回答者の問題の確認の質問に回答いただけないのでしょうか？

■もし、上下の小さな山形の部分が色づけになっていないなら、答えに逆三角関数や平方根が入るため、小学生の理解の範囲を超えます。

■もし、上下の小さな山形の部分も色づけになっているなら、色付けの部分は、幅2cmｘ高さ8cmの長方形の面積に等しくなりますので
面積=16cm^2(16平方センチメートル)
になります。
この場合なら掛け算だけで求まるので小学生でも分かります。

この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。
上下の山形部分は面積に含まれません。
また私が出した面積は、おおむねNo3のかたがおっしゃっている数と同じようになりました。

※ご質問への解答が遅くなってしまいすみませんでした。
仕事前に質問して帰宅後に確認できれば・・という感じで投稿しておりました。「困り度」の設定に誤解を招く点があったかも知れません。申し訳ありませんでした。

お礼日時：2009/08/30 16:32

No.3 回答者： okormazd 回答日時： 2009/08/30 02:23

色のついた部分が違っていませんか。

8cmで挟まれている部分とか。
そうでなければ、無理数になって小学校では無理のように思えるが。
答えは、
S=2*_r*_d-4*(_r*_d/2-(PI()*_r^2*ASIN(_d/(2*_r))/(2*PI())+1/2*_d/2*_r*COS(ASIN(_d/(2*_r)))))
15.8317・・・・・・cm^2
8cmで挟まれている部分なら、
16cm^2

この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。

色の着いた部分は図の通りでした。
円周の交点に出来る山形の部分はふくまれません。

ちなみに中学受験の為の問題らしく、πは使用できるようです・・。

お礼日時：2009/08/30 16:36

No.2 回答者： egarashi 回答日時： 2009/08/30 01:19

8=2r

2=d
求める面積をS

とします。
2円の中心、交点の4点を直線で結んで菱形を作ります。
中心間を結ぶ線分と、中心・2円の交点を結ぶ線分のなす角をθとします。

重なった部分にできる扇形の面積S1は、
S1=πr^2・2θ/(2π)=r^2・θ

中央にできる直角三角形2個分の面積S2は、
S2=1/2・r・d/2・sinθ・2=(1/2)rdsinθ

故に、重なった部分の面積S3は、
S3=S1-S2=2(r^2・θ-(1/2)rdsinθ)

S=πr^2-S3
=πr^2-2(r^2・θ-(1/2)rdsinθ)
={(π-2θ)r+dsinθ}r

禁じ手使いまくりでこうなりました。
θ=arccos(d/(2r))=arccos(1/4)
となるため、具体的に角度がわからず、たとえ三平方からsinθを求めたとしても無理数となります。

小学生には無理なのでは…？
それとも私の解法に欠陥があるのでしょうか…

この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。

細かい計算式まで有難う御座いました。

中学受験の問題らしく、πまでは使用できるようなのですが・・。

お礼日時：2009/08/30 16:38

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/08/30 00:48

>色の着いた部分の面積

色の着いた部分に
上下の小さな富士山型の部分が含まれるのか、含まれないのか、よく見えません。
どちらですか？

>三平方の定理や微分積分を利用すれば解けるのですが、
解いた面積を補足に書いて頂けませんか？