16の4乗根は±2ではない！？

タイトルの通りです。
高2です。先生や友達に聞いても、「説明しにくい・・」と言われて納得いく答えがかえってきません。
√4＝±2ですよね！？
よろしくおねがいします。

No.9 ベストアンサー 回答者： puni2 回答日時： 2003/04/19 23:48

>実数に限定されての話ですが、どうして＋２だけなのでしょう・・

ああ，なるほど。やっと元の質問の意味が分かりました。
これは，「xの平方根」と「√x」との関係に似ています。

以下の話ではすべて，xは正の実数とします。

まず，2乗してxになる数は2つあります。この数を（両方あわせて）xの平方根といい，そのうち正のほうを√xと書きます。もう一つのほうは－√xになります。

同様に，4乗してxになる数は（複素数の範囲で考えると）4つあります。この4つの数をxの4乗根といい，そのうち正の実数のものを[4]√xと書きます。
（本当は小さい4を√記号に乗せるわけですが，画面では表示できないので，ここでは便宜的に[4]としておきます。）
残りの3つは，－[4]√x，([4]√x)i，－([4]√x)iとなります。

つまり，平方根は2つ，4乗根は4つあるけれど，√xと書いたら，そのうち正の実数になるものだけを指し，それ以外の根は√xにマイナス記号やiなどをつけて表す，というわけです。

質問のタイトルに「16の4乗根は±2ではない！？」とありますが，これに対する答えは，
　16の「4乗根」といったら，±2および±2iの4つ，
　[4]√16といったら，＋2だけ，
になります。

ちなみに，xを正の実数とした時，3乗根は3つあり，そのうち1つは正の実数，残り2つは複素数になります。このときも同様に，正の実数のものを[3]√xと書きます。（この場合，2乗根や4乗根などと違って，残りの2つの根は，[3]√xにちょこっと記号をつけ足せばすむというわけにはいきません。）
5乗根から先も同様です。
このあたりは，複素平面のところで，xのn乗根とか，ドゥ・モアブルの定理などを学ぶと理解が早いのですけどね（従来は数学Bで出てきていた）。

なお，今年から高校にも新しい指導要領が導入され，教科書の内容も変わっています。数学Bからは複素平面が消えました。
ただし，高校の場合は「学年進行」といって，今の1年生（や来年以降入ってくる1年生）は卒業までずっと新しい指導要領で行きますが，今の2年・3年は前の指導要領時代に入学しているので，卒業まで前の内容の教科書を使います（留年しない限り）ので，もし数学Ｂの教科書をもっていれば，複素平面も載っているはずです（1学期が始まったばかりですので，まだそこまで進んでいないかもしれませんが）。

この回答へのお礼

わかりました！本当にありがとうございます。
「１６の４乗根」と「〔４〕√１６」は違うものなんですね！「〔４〕√１６」をどう表記していいかわからなくて「１６の４乗根」と書いて質問してしまいました。（言い訳）
これからもいろいろとご教授下さい。

お礼日時：2003/04/20 21:46

No.8 回答者： puni2 回答日時： 2003/04/18 23:44

もうおわかりと思いますが，念のためまとめておきます。

実数に限定しているのなら，16の4乗根は±2で正しいです。
複素数の範囲で考えるのなら，16の4乗根は±2と±2iの4つになります。

なお，No.6の指摘やNo.7の修正の意味，お分かりと思いますが，念のため補足しておきましょう。
xを正の実数とした時，2乗してxになる数をxの平方根という。これは2つあり，そのうち　★正のほうを√x★と書くのです。従って，負のほうは－√xです。また，√0＝0とします。
また，xが負の実数のときは，2乗してxになる数は純虚数（iの実数倍）になりますので，そのうち，iの「正の実数倍」のほうを√x，「負の実数倍」のほうを－√xとすることが多いと思います。（2次方程式の解の公式などに出てきます）
xが純虚数や，実部と虚部の両方を持つ複素数の時は，√xという書き方はしないのが普通だと思います。

この回答への補足

僕の疑問を起こさせる原因となったのは、教科書（啓林館数学２）指数と指数関数の分野の８６ページ例６に、１６の４乗根（式では表記できないと思いますがあえて・・）、つまり4√１６＝２とあったからです。この疑問はまだ解決されてないです。実数に限定されての話ですが、どうして＋２だけなのでしょう・・

補足日時：2003/04/19 21:59

この回答へのお礼

皆さん親切に基礎から教えていただきありがとうございました。理解できました。

お礼日時：2003/04/19 21:56

No.7 回答者： mmky 回答日時： 2003/04/17 22:55

追伸

＃６のojamanboさんのご指摘の「ちょっとちょっと大丈夫ですか 」ですが、mmkyさんは大丈夫じゃなかったですね。
ごめん。修正しておきます。
＃４の修正版
(16)＾(1/4)=±√(±4）
±√(±4）は2通りあるね。
±√(+4）=±2
±√(-4）=±√(-1)√(+4）=±2i
{√(-1)=i ,i＾2=-1}
以上　追伸まで

No.6 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/04/17 22:34

ちょっとちょっと大丈夫ですか

√４＝２ですよ。

±√４＝±２です。

±√（±４）＝±２，±２i　
です。

なお高校ぐらいだと実数に限定して話をすることもあるので
最初から言ってもらわないと（虚数を許すのかどうか）
１６の４乗根は±２
というのが正解とも間違いともいえません。

No.5 回答者： tigersgogo 回答日時： 2003/04/17 22:30

高２ですよね。

数Ｂはならってますよね。16の4乗根を求めるということは、ｘの4条＝１６となるｘを求めればいいわけです。（数式がでなくて見にくくてすみません）
因数分解すると、結局ｘの2条+4＝０、ｘの2条-4＝０を解くことになります。ここで、実数の範囲内で答えを求めると２、－２が解になります。
数Ｂをならっていれば、複素数の範囲も求められるので、２ｉ、－２ｉも解になります。
数式がわかりにくかったでしょうか？
納得できますか？

No.4 回答者： mmky 回答日時： 2003/04/17 21:57

参考程度に

√√(16)=√(±4）
√(±4）は2通りあるね。
√(+4）=±2
√(-4）=√(-1)√(+4）=±2i
{√(-1)=i ,i＾2=-1}
検算
(±2)＾2*(±2)＾2=4*4=16
(±2i)＾2*(±2i)＾2=(-4)*(-4)=16
ということで、±2, ±2i
の4つの答えがありますね。

No.3 回答者： ymmasayan 回答日時： 2003/04/17 21:56

＞√4＝±2ですよね！？

ここが違います。√(±4）でないとだめです。
全部で4つの解があります。
√4＝±2はそのとおりですが、
√(-4）にも2つの解があります。
複素数で表すことになりますので習っていなければ難しいでしょう。
ｎ乗根は一般に実数解と複素解をあわせてｎ個の解を持ちます。

No.2 回答者： denden_kei 回答日時： 2003/04/17 21:47

念のため。

iは虚数単位でi=√(-1)のことです。

No.1 回答者： denden_kei 回答日時： 2003/04/17 21:44

＞16の4乗根は±2ではない！？

±2だけでなく、±2i (電気の世界では±2jと表記することも)も解です。

＞√4＝±2ですよね！？

４だけでなく-４も１６の２乗根であるところがポイントです。