立体の求積(非回転体の求積)

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質問者：-somebody-
質問日時：2009/09/24 01:02
回答数：1件

----------以下引用---------------------------
東京大学2005年の第6問
rを正の実数とする。xyz空間において
x^2+y^2≦r^2
y^2+z^2≧r^2
z^2+x^2≦r^2
を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ。
------------以上引用-------------------------

この問題を以下の方針で解いたのですが
どうも答えが合わなくて困っています。

なお
計算過程で定積分が出てきますが
テキスト形式での定積分の記法を知らなかったので
a→bとなる区間で
k×f(x)を積分するとき(kは定数)
k[a,b]∫f(x)dx
としました。

求める立体図形を
y=tとなるxz平面で切断した図形を考える。

問題文の不等式をy=tとして解くと
-√(r^2-t^2)≦x≦√(r^2-t^2)
z≦-√(r^2-t^2),√(r^2-t^2)≦z
x^2+z^2≦r^2
-r≦t≦r

(1)-r≦t≦-r/√2,r/√2≦t≦rのとき
求める立体図形y=tとなるxz平面で切断したときの断面積は
πr^2-4(r^2-t^2)-4[√(r^2-t^2),r]∫√(r^2-x^2)dx
計算すると
4t^2+2t√(r^2-t^2)+2r^2Arcsin√{1-(t/r)^2}-4r^2

yについて対称なので
2[r/√2,r]∫(4t^2+2t√(r^2-t^2)+2r^2Arcsin√{1-(t/r)^2}-4r^2)dt
=[r/√2,r](8/3t^3+4r^2tArcsin√{1-(t/r)^2}-4r^2√(r^2-t^2)-8r^2t)+[0,r^2/2]{4/3x^(3/2)}
=(-16/3+17√2/3-π/√2)r^3

(2)-r/√2≦t≦r/√2のとき
(1)と同様にして
断面積は
2r^2Arcsin(t/r)-2t√(r^2-t^2)
積分すると
2[0,r/√2]∫{2r^2Arcsin(t/r)-2t√(r^2-t^2)}dt
=(5√2/3-8/3+π/√2)r^3
(1),(2)あわせて
(-8+22√2/3)r^3

となるのですが
正しい値は(8√2-32/3)r^3

東大数学25ヵ年と
インターネットにある解法は

・x=tとする方法しか載っていない
・Arcsinを扱っていない

以上の理由からあまりこの方針に対して参考にはなりませんでした。(一応x=tとおいて自分で計算した時は正しい値が得られました。)

かれこれ一ヶ月ほどどこが間違いなのか悩んでいますが
未だにわかりません。

積分計算が煩雑なのでどこかで計算ミスなどしていると思うのですが。。。

大変見辛くなってしまいましたが
間違いにお気づきになられましたらご指摘お願いします。