A 回答 (4件)
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No.1
- 回答日時:
V=∫∫∫[V] 1 dxdydz
=∫∫[S] z(x,y)dxdy
=∫∫[S']z(φ,θ)|J|dφdθ
z(φ,θ)=(1/2)θsin(2φ),
x=θcosθcosφ,y=(1/2)θsinθ{1+cos(2φ)}
|J|=∂(x,y)/∂(θ,φ)
={-θcosθsinθ-(θ^2)*(cosθ)^2+2θ^2}((cosφ)^2)sinφ
V=∫[0,π/2] {∫[0,π/2] (θ/2)sin(2φ)|J|dθ}dφ
=(π^4)/320+(π^2)/240-(1/60)
= 0.328860 …
となりました。
合っているはは保証の限りではありませんので、自分で計算して確かめてください。
なお、立体の図を添付します。
No.2
- 回答日時:
#1です。
A#1の積分の仕方をdxdzで積分するやり方をしても同じ積分値になりますのでA#1の積分結果で合っていると思います。
以下dxdz面上でyを積分する方法です。
V=∫∫∫[V] 1 dxdydz
=∫∫[S] y(x,z)dxdz
=∫∫[S'] y(φ,θ)|J1|dφdθ
y(φ,θ)=(1/2)θsin(2φ),
x=θcosθcosφ,z=(s/2)*sin(2*t)
y=(1/2)θsinθ{1+cos(2φ)}
|J1|=|∂(x,z)/∂(θ,φ)|
=|(θsinθ-2*θ^2*sinθ)*cos(φ)^3+θ^2*sinθ*cosφ|
V=∫[0,π/2] {∫[0,π/2] (θ/2)sinθ{1+cos(2φ)}|J1|dθ}dφ
=(π^4)/320+(π^2)/240-(1/60)
= 0.328860 …
No.3
- 回答日時:
#1,#2です。
A#2の訂正と補足です。
絶対値の付け方が間違っていたようですので下記のように訂正します。
> x=θcosθcosφ,z=(s/2)*sin(2*t)
x=θcosθcosφ,z=(θ/2)sin(2φ)
A#1,A#2共、θは質問のΘと同じ角度[rad]、φは地球の緯度に当たる角度[rad]です。
> |J1|=|∂(x,z)/∂(θ,φ)|
|J1|=∂(x,z)/∂(θ,φ)
>=|(θsinθ-2*θ^2*sinθ)*cos(φ)^3+θ^2*sinθ*cosφ|
=(θsinθ-2*θ^2*sinθ)*cos(φ)^3+θ^2*sinθ*cosφ
>V=∫[0,π/2] {∫[0,π/2] (θ/2)sinθ{1+cos(2φ)}|J1|dθ}dφ
V=|∫[0,π/2] {∫[0,π/2] (θ/2)sinθ{1+cos(2φ)}|J1|dθ}dφ|…(■)
> =(π^4)/320+(π^2)/240-(1/60)
> = 0.328860 …
積分のθとφの上限、下限の与え方により体積積分が正になったり負になったりします。負になった場合は体積積分の絶対値をとる必要があります。今の(■)の積分では負になりますので絶対値をとります。
No.4
- 回答日時:
私の計算では,(π/4)^5 となってしまうのですが・・・
大きなミスをしてたらごめんなさい.
OP上の点(x,y)に対して
x=r*cosθ,y=r*sinθ とすると
V=∫[0,π/2]dθ∫[0,θ]{√(rθ-r^2)}rdr
=∫[0,π/2]dθ∫[0,θ]{r√((θ/2)^2-(r-(θ/2))^2}dr
r-(θ/2)=t とおくと,r=t+(θ/2), dr=dt だから
V=∫[0,π/2]dθ∫[-θ/2,θ/2](t+θ/2){√((θ/2)^2-(t^2))}dt
また,t=(θ/2)sinφ とおき,dt=(θ/2)cosφより
V=∫[0,π/2]dθ∫[-π/2,π/2]((θ/2)sinφ+(θ/2))*(θ/2)cosφ*(θ/2)cosφdφ
=∫[0,π/2]dθ(θ/2)^3∫[-π/2,π/2](1+sinφ)(cosφ)^2dφ
=(1/8)∫[0,π/2](θ^3)dθ{∫[-π/2,π/2](cosφ)^2dφ+∫[-π/2,π/2](sinφ)(cosφ)^2dφ}
第2項は0だから
V=(1/8)[(θ^4)/4][π/2,0]*2∫[0,π/2](cosφ)^2dφ
=(1/8)*(1/4){(π/2)^4}(π/2)
=(π/4)^5
自信がないですが,どこか大きな勘違いしてますでしょうか?
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