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微分はノイズに弱い、積分はノイズに強い

一体これはどういう意味なのでしょうか?

ーーーーー自分なりの解釈はーーーーーーーーーー
tを微分  ラプラス変換→ s または フーリエ変換 jw
t積分 ラプラス変換→ 1/s または フーリエ変換 1/jw

となり、それらの絶対値を考えた場合、

高周波数領域では
積分のときは 絶対値が大きくなる
微分のときは 絶対値が小さくなる

そして、現実の世界ではノイズは高周波数領域に多くあるので、

s を伝達関数として使う場合、出力はノイズによる影響が激しくなるので 使い物にならない・・・
逆に1/sはノイズによる影響をあまり受けないので、使える。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

このような考えで会っているのでしょうか?
よろしくおねがいします。 



 

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A 回答 (2件)

基本的はそのお考えで正しいと思います。



現実の世界に照らしつつもうちょっと定性的に(式ではなくて)、私流に独断偏見注釈コメントを記すと次のような感じです。
「現実の世界ではノイズは高周波数領域に多くあるので」現実には雑音高域はちょっと低下方向が普通で、高周波に偏っていると言うことはむしろ少ないです。が、少なくとも教科書的典型は白色雑音で、とにかく雑音が低周波に局在というのは非典型ですね。
一方、通常の信号は低域に集中するのが普通。画像とかフーリエ変換したら、見えるのはほとんどdc(直流)近傍だけです。
この状況では、高域は雑音ばかり。そこは要らない。積分で高域カットしてしまえばよい。
微分は隣接データ間の変化分強調だ。変化分というのは白色とか高域に偏る。微分で雑音ばかり強調だ。
これが普通の状況なので、微分はノイズに弱い、積分はノイズに強いと言われることになります。
だけれども、信号が高域に偏る場合もないとはいえない。このケースでは、積分は信号も雑音も落とす。決して雑音に強いなんてことはない。微分は雑音も強調するが信号も強調する。微分が雑音に弱いなんてことはない。
結局微分積分が雑音に強い弱いというのは信号と雑音とがどの辺の帯域にあるかという状況設定次第なんです。
極端なケースでは積分が雑音に弱いという状況もあり得ます。例としては主たる雑音がドリフトのような超低周波であり関心信号は周波数の低くない交流の場合です。この場合積分はひどい結果を出します。微分で低周波雑音をカットできます。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
結局、どの周波数に自分の求めている信号があるかによるんですね。
いま大学で信号処理習い始めたばかりなので、周波数の話はフーリエやらラプラスの使い道を知る上で、とても参考になります!

お礼日時:2009/11/26 13:54

ノイズは時間と共にランダムに変化する信号のことですよね。


微分というのは、変化を増幅させる機能を持つのでノイズに弱いということになります。
積分は、ある時間の信号の平均値を求めるようなものなので、時間でランダムに変化するようなノイズなら、積分によりばらつきは減ります。
統計学や信号処理では、n個のデータの平均値のばらつきは元のデータのばらつきのn^0.5に減少するといわれており、これからも積分の方がノイズには強いということがわかると思います。
(この場合のノイズはホワイトノイズであることが前提ですが)

尚、現実の世界が電気回路の世界ということなら、1/fノイズというのがあるため通常は単位周波数当たりで考えると周波数が低い方がノイズの大きさは大きくなります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
統計学にもノイズが関係あるんですね、、、まだまだしらなけらばならないことがたくさんありそうです。 参考になりました。

お礼日時:2009/11/26 14:01

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ぜひとも教えていただきたいです。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

積分回路はある一定時間の変化を平滑化する作用があります。たとえばホースから出る水の量や勢いはホースの太さと元の水圧に直接的に影響を受けます。ところが途中にバケツを置けば、元の水圧に応じてバケツの水面が上下しますが、バケツから流れ出る水の水圧は瞬間的な元水圧の変動は受けなくなります。積分を行う区間(時定数という)を適切に調整することにより外乱の影響を受けにくく安定して制御を行うことが出来ます。
微分回路は逆に変化が現れたときにその変化を抽出する働きをします。たとえば昼休みになってみんなが一斉にテレビをつけたら消費電力が上がりますが、発電所ではその徴候をすぐに捕らえるために微分回路を使います。
逆の使い方として、パルス上の外乱を取り除くために使うことがあります。ラジオ放送を聞いている時に近くをバイクがとおるとバリバリという音が入りますが、このバリバリというパルス状の雑音を微分回路で抽出し、元の信号に加えれば除去することが出来ます。
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積分回路はある一定時間の変化を平滑化する作用があります。たとえばホースから出る水の量や勢いはホースの太さと元の水圧に直接的に影響を受けます。ところが途中にバケツを置けば、元の水圧に応じてバケツの水面が上下しますが、バケツから流れ出る水の水圧は瞬間的な元水圧の変動は受けなくなります。積分を行う区間(時定数という)を適切に調整することにより外乱の影響を受けにくく安定して制御を行うことが出来ます。
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Aベストアンサー

#1です。
A#1の補足の質問の回答

> これはσ→∞のとき完全なホワイトノイズになると考えて良いのでしょうか?
もちろん一致します。でもσが無限大のガウスノイズは、現実には実現不可能です。

> この標準偏差が無限のときに、
狭い周波数帯では平坦に見えるということからホワイトノイズと呼ばれるという説明で合っていますでしょうか?
無限は思考的な理論の世界の表現で、現実には無限の周波数は作れませんし、その測定器も存在しません。もしσが無限大のガウス雑音が出来たとしたら、ホワイトノイズと区別できないでしょう(ガウスノイズはσ無限大の極限ではホワイトノイズは一致します)。

別に標準偏差が無限大でなくても、扱うスペクトルの周波数帯で平坦なスペクトル(と見えている)ならホワイトノイズとして扱って良い(見做して良い)でしょう。あくまでも擬似的なホワイトノイズであって、ホワイトノイズそのものではありません。
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一方、振幅が無限大、幅ゼロのパルス(ディラックのデルタ関数δ(t))の)のフーリエ変換はフラットなスペクトルになります。しかし、現実には、振幅が無限大、幅ゼロのパルスは作れません。
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なお、真の意味のホワイトノイズ発生器は製作不能です。製作できてもそれがホワイトノイズ発生器であることを確認する測定器も作れないし存在しませんね。あくまで理念的な空想の産物ですね。

#1です。
A#1の補足の質問の回答

> これはσ→∞のとき完全なホワイトノイズになると考えて良いのでしょうか?
もちろん一致します。でもσが無限大のガウスノイズは、現実には実現不可能です。

> この標準偏差が無限のときに、
狭い周波数帯では平坦に見えるということからホワイトノイズと呼ばれるという説明で合っていますでしょうか?
無限は思考的な理論の世界の表現で、現実には無限の周波数は作れませんし、その測定器も存在しません。もしσが無限大のガウス雑音が出来たとしたら、ホワイトノイズと...続きを読む

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Aベストアンサー

#1です.

3σの外を切るような乱暴な方法とか,
はたまた,外れ値は自動的には除去できないとか,無責任な回答があったので,
修正しておきます.

私は,「ノイズを除去しても欠測値にはしない」という立場で書いてきましたが,
除去でよいのなら,次のような取り除き方があります.

まずベースラインを補正します.
これは例えば,小学生の身長のように,学年に比例する観測値なら
学年に比例する分を取り除き,一定信号に基準化する作業です.

次に全体のヒストグラムを作ります.
これが,フーリエ変換のような作業だと考えて下さい.

運よく二山になったら,山の隙間のどこかに閾値(しきい値)をとって,上側の山を切り落とします.
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二山にならず,肩のこぶのようになっていたら,
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次に,閾値から上側を切り落とします.

このように,ノイズの除去には原信号の犠牲が伴い,
それに対する配慮が必要であることを分かって頂けたと思います.
3σの外を切るような乱暴な話ではありません.

#1です.

3σの外を切るような乱暴な方法とか,
はたまた,外れ値は自動的には除去できないとか,無責任な回答があったので,
修正しておきます.

私は,「ノイズを除去しても欠測値にはしない」という立場で書いてきましたが,
除去でよいのなら,次のような取り除き方があります.

まずベースラインを補正します.
これは例えば,小学生の身長のように,学年に比例する観測値なら
学年に比例する分を取り除き,一定信号に基準化する作業です.

次に全体のヒストグラムを作ります.
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Q積分のエクセル計算式を教えて下さい。

微積分の計算するにはエクセルでどの関数を使いどのような式を作ればよいのでしょうか。

Aベストアンサー

エクセルでの積分計算は、関数f(x)のx=aからbまでの定積分を求める式を作ればよいので、
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ですから、
f(xi)をセルで計算してi=0からn-1の合計を計算して[(b-a)/n]をかければ、近似計算が出来ます。

マクロが使えるのなら、ルンゲ・クッタ方をエクセルのマクロで計算する方法が正確です。参考になる書籍の「本書の例題ファイル」をダウンロードして参考にすると良いと思います。

参考URL:http://ssl.ohmsha.co.jp/cgi-bin/menu.cgi?ISBN=4-274-06673-8

QオペアンプのGB積

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良く分かりません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

「×GEIN」→「○GAIN」でスペルミスです.寝ぼけていてゴメン.
お詫びに図で説明を;
図はオーディオ用のuPC4570の電圧利得対周波数特性です.
http://www.necel.com/nesdis/image/G10528JJ8V0DS00.pdf
赤線は電圧利得 Av=80dB(1万倍)のときで周波数 f≒1.3kHzとなり,GB積≒1.3*10^07.
青線は電圧利得 Av=40dB(100倍)のときで周波数 f≒120kHzとなり,GB積≒1.2*10^07.
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今、大学に提出する書類を作成してるのですが、少し漢字の意味で悩んでいることがあります。

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Aベストアンサー

大学用語としてお答えすれば,

>「3年次」というのは「大学3年生の時」という意味なのでしょうか?
わかりやすくは,そう解釈していいと思います。区別するとすれば,3年生というのは学生個人のステータスであって,3年次というのは制度的な入学後3年目をいうことばです。たとえば,
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