必要条件・十分条件の問題です。

abを有理数として、ｘ＝a(b-1)＋b(a-1)√2
y=a+b√2とおく。ただし、√２は無理数である。
x(二乗)が有理数であるための必要十分条件は、「アまたはイ」である。
ｘが無理数であることは、ｙが無理数であるためのウ。
ｘ(二乗)が有理数であることは、y(二乗)が有理数であるためのエ。
これを解いてみると・
(1)a=0かつｂ＝１とa≠１またはｂ≠０
(2)必要条件であるが、十分条件ではない
(3)十分条件であるが、必要条件ではない
になりました。
まちがっているところがあれば、訂正も含めて教えてください・

No.1 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/12/12 14:20

まず 0が有理数に含まれることを確認してください。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86% …

(1)
>a=0かつｂ＝１とa≠１またはｂ≠０
■「a=0かつ b=1」は間違い
正：a=0 または b=1　←　十分条件であるが必要条件の一部
a=0のとき　x=-b√2, x^2=2b^2 で有理数。b=1は必ずしも必要ではない。
b=1のとき x=(a-1)√2, x^2=2(a-1)^2　で有理数, a=0は必ずしも必要ではない。
■「a≠1 または b≠0」は間違い
「a≠1 または b≠0」を満たすa=b=2とおいて見ると
x=2+2√2, x^2=12+8√2 で有理数にならない。
「a≠1 または b≠0」は必要十分条件に含まれない。

まず、x^2が有理数になる場合をすべて拾い出す。
x^2を計算してやると
x^2=[{a(b-1)}^2+2{b(a-1)}^2]+2(√2)ab(a-1)(b-1)
なので、
x^2が有理数である為の必要十分条件は
[{a(b-1)}^2+2{b(a-1)}^2]は有理数なので
ab(a-1)(b-1)=0
である。
つまり
a=0またはa=1またはb=0またはb=1
これを
「アまたはイ」の形に整理すればよい。
(1)
答の一例
ア：a=0または1
イ：b=0または1

(2)ウ　○
(3)　×
正：必要条件であるが、十分条件ではない。

（解説）
x^2が有理数であることは　ab(a-1)(b-1)=0と等価なので
y^2=(a^2+2b^2)+2(√2)ab が有理数である必要十分条件「ab=0」
との関係を考えれば良い。

ab(a-1)(b-1)=0　→　ab=0　これば成り立たない。
ab(a-1)(b-1)=0　←　ab=0　これば成り立つ。

十分条件と必要条件を正しく認識すること。
十分条件：→方向成立、←方向成立せず。
必要条件：←方向成立、→方向成立せず。