式の変形（通分）（逆数）

電気抵抗の式の変形なのですが、
１／Ｒ　＝　１／Ｒ1　＋　１／Ｒ2　＋　１／Ｒ3

この式を通分すると、なぜ
１／Ｒ　＝　（Ｒ2Ｒ3　＋　Ｒ3Ｒ1　＋　Ｒ1Ｒ2）／（Ｒ1Ｒ2Ｒ3）
となるのかがわかりません。
さらに
両辺の逆数を取ると、（左辺がRの式をとる）
Ｒ　＝　（Ｒ1Ｒ2Ｒ3）／（Ｒ2Ｒ3　＋　Ｒ3Ｒ1　＋　Ｒ1Ｒ2）
なぜこれでよいのか
この変形が理解できません・。

No.3 ベストアンサー 回答者： asuncion 回答日時： 2009/12/23 11:19

＞１／Ｒ　＝　１／Ｒ1　＋　１／Ｒ2　＋　１／Ｒ3

通分したときの分母がR1R2R3であることは理解できますか？

右辺の各項の分母をR1R2R3にすると、
1/R1 → R2R3/R1R2R3
1/R2 → R3R1/R1R2R3
1/R3 → R1R2/R1R2R3
となることは理解できますか？

右辺の各項の和が
(R2R3 + R3R1 + R1R2)/R1R2R3
となることは理解できますか？

両辺の逆数を求めることは、左右両辺の分母・分子を
入れ替えることに等しい、ということは理解できますか？

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2009/12/23 11:05

通分に当たって、

右辺第一項→分母、分子にＲ２Ｒ３をかける
　１／Ｒ１＝Ｒ２Ｒ３／Ｒ１Ｒ２Ｒ３
右辺第二項→分母、分子にＲ１Ｒ３をかける
　１／Ｒ２＝Ｒ１Ｒ３／Ｒ１Ｒ２Ｒ３
右辺第三項→分母、分子にＲ１Ｒ２をかける
　１／Ｒ３＝Ｒ１Ｒ２／Ｒ１Ｒ２Ｒ３
これを加えると右辺は
　（Ｒ2Ｒ3　＋　Ｒ3Ｒ1　＋　Ｒ1Ｒ2）／（Ｒ1Ｒ2Ｒ3）
となるはずです。逆数は単に分母と分子を入れ替えているだけです。

No.1 回答者： proto 回答日時： 2009/12/23 11:02

1/R1の分子分母にR2R3をそれぞれ掛けると、

　　1/R1 = (R2R3)/(R1R2R3)
1/R2の分子分母にR3R1をそれぞれ掛けると、
　　1/R2 = (R3R1)/(R1R2R3)
1/R3の分子分母にR1R2をそれぞれ掛けると、
　　1/R3 = (R1R2)/(R1R2R3)

よって
　　1/R1 + 1/R2 + 1/R3 = (R2R3)/(R1R2R3) + (R3R1)/(R1R2R3) + (R1R2)/(R1R2R3)
分母のR1R2R3は共通しているので、
　　(R2R3)/(R1R2R3) + (R3R1)/(R1R2R3) + (R1R2)/(R1R2R3) = (R2R3+R3R1+R1R2)/(R1R2R3)


また、両辺が0でない限り両辺の逆数を取っても等式は成り立ちます。
　　a/b = A/B
の時、
両辺にbを掛ける
　　a = Ab/B
両辺にBを掛ける
　　aB = Ab
両辺をaで割る
　　B = Ab/a
両辺をAで割る
　　B/A = b/a
右辺と左辺を入れ替えて
　　b/a = B/A

もっと簡単に両辺の分子と分母を入れ替えると考えても良いです。


今回の場合で考えると
　　1/R = (R2R3+R3R1+R1R2)/(R1R2R3)
について、1/Rの分母と分子を入れ替える、同時に(R2R3+R3R1+R1R2)/(R1R2R3)の分子と分母を入れ替えると
　　R/1 = (R1R2R3)/(R2R3+R3R1+R1R2)
　　R = (R1R2R3)/(R2R3+R3R1+R1R2)