√a^2-x^2の不定積分がわかりません。

√a^2-x^2の不定積分がわかりません。
わかる方いらっしゃいましたら回答お願いしますm(__)m

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/02/16 13:56

その式のルートはどこまでかかっていますか?

√a^2-x^2 と書くと普通は (√a^2)-x^2 (= |a| - x^2) と解釈されますが, それでいいですか? 実は √(a^2-x^2) (つまりルートが a^2-x^2 全体にかかる) だったりしませんか?
あと, 分かるといえば分かるけど厳密には「どの変数による不定積分を求めるのか」も書いてほしい.

この回答への補足

すみません、説明不足でした。
√(a^2-x^2)
で、
xによる不定積分です。
引き続きよろしくお願いします。

補足日時：2010/02/16 14:15

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/16 15:14

a>0とします。

x=a*sin(t) (-π/2≦t≦π/2) で置換積分する。
√(a^2-x^2)=a*cos(t)
dx=a*cos(t)dt
∫√(a^2-x^2)dx=∫a*cos(t)+a*cos(t)dt
=(1/2)(a^2)∫{1+cos(2t)}dt
=(1/2)(a^2){t+(1/2)sin(2t)}+C

後は、
　t=arcsin(x/a),
　(a^2)sin(2t)=2a*sin(t)*a*cos(t)=2x√(a^2-x^2)

を代入して元の変数xに戻すだけ。

この回答へのお礼

助かりました、ありがとうございます。

お礼日時：2010/02/16 16:17

No.2 回答者： aokii 回答日時： 2010/02/16 14:18

-(X^3)/3+C

この回答への補足

計算過程も詳しく知りたいです。

補足日時：2010/02/16 14:44