極限値 問題

極限値　問題

lim[x→0]｛（（√1+x+x＾2）-1）/（√1+x）-（√1-x）｝を求めよ。
なのですが、有理化等しても0/0となってしまいます・・・

どのように解けば良いでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

No.4 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/03/25 14:53

>分母の0を解消できません・・・

分母だけでは駄目です。できないのが回答通り実行しないからとは思いませんか？

>分母の有理化とその逆の分子の有理化を行って、0/0型を解消
すれば、極値が求まるでしょう。
ちゃんと両方とも実行しないから解消できないのは当然です。

分子の有理化も同時に行わないと0/0型の原因の要素の約分できませんで
片手落ちでしょう。

>lim[x→0]｛((√(1+x+x＾2))-1)/((√(1+x))-(√(1-x)))｝
分子と分母の有理化を行うと
=lim[x→0]｛((1+x+x＾2)-1)/((√(1+x+x＾2))+1)}
*{((√(1+x))+(√(1-x)))/((1+x)-(1-x))｝
=lim[x→0]｛(x(1+x)/((√(1+x+x＾2))+1)}
*{((√(1+x))+(√(1-x)))/(2x)｝
ここで x(1+x)/(2x)=(1+x)/2
と約分できて0/0型の原因の因数xが約分できて
=lim[x→0](1/2){((1+x)/((√(1+x+x＾2))+1)}*{((√(1+x))+(√(1-x)))｝
これで0/0型でなくなったので単純にx→0とすれば極値が出てきます。

お分かりですか？

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
まず、分母を有理化してその後分子を有理化すると考えていたのですが、おっしゃる通りですね。

lim[x→0]（（√1+x+x^2）-1）/（（√1+x）-（√1-x））
＝lim[x→0]{（1+x+x^2）-1/（（√1+x+x^2）+1）}・
{（（√1+x）+（√1-x））/（（1+x）-（1-x））}
＝lim[x→0]{（x(1+x)）（（√1+x）+（√1-x）}
/{（（√1+x+x^2）+1）・2x}
＝lim[x→0]{（1+x）（（√1+x）+（√1-x）}/{2（（√1+x+x^2）+1）}
＝{（（√1）+（√1）}/{2（（√1）+1）}＝1/2

解けました。

ありがとう御座いました。

補足日時：2010/03/25 19:58

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/03/25 02:01

公式(A-B)(A+B)/(A+B)=(A^2-B^2)/(A+B)

を利用して√の引き算をなくし、(A+B)の形にすれば
0-0型でなくなる。(A^2-B^2)の項は分子・分母で約分すれば
0/0型ではなくなる。

分母の有理化とその逆の分子の有理化を行って、0/0型を解消
すれば、極値が求まるでしょう。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

{（√1+x+x^2）-1}/{（√1+x）-（√1-x）}

（√1+x）＝A
（√1-x）＝B
とおくと

{（√1+x+x^2）-1}/（A-B）＝({（√1+x+x^2）-1}/（A-B）)・（A+B）/（A+B）
＝（{（√1+x+x^2）-1}（A+B））/（A^2-B^2）

分母の0を解消できません・・・

補足日時：2010/03/25 13:24

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/03/25 00:50

こんばんわ。

＞有理化等しても0/0となってしまいます・・・
#1さんも言われていますが、「やるなら、とことんやってみて」ください。
方針はあってますよ。

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/03/25 00:41

諦めるのが早過ぎるのだと想像します。