部分分数分解

添付画像の方法で部分分数分解をしようと考えています。

∫(3x-1)/((x+1)(x^2+1))dxにおいて、
(3x-1)/((x+1)(x^2+1))=(a/(x+1))+(b/(x^2+1))として
係数を求めたいのですが・・・どのようにすれば解けるでしょうか?

a=(3x-1)/(x^2+1)|(x=-1)=-2
bを求める事ができません・・・


どのようにすれば良いのでしょうか?

「部分分数分解」の質問画像

A 回答 (2件)

そもそも


(3x-1)/((x+1)(x^2+1))=(a/(x+1))+(b/(x^2+1))
とした場合右辺を通分するとx^2の項の行き場がなくなってしまいます。
部分分数分解の場合それぞれの項において分母と分子の次数の差を揃えてやると
うまくいったような記憶があります。
つまり、
(3x-1)/((x+1)(x^2+1))=(a/(x+1))+((bx+c)/(x^2+1))
ということです。
まじめに通分して両辺の分子で係数比較をすればa,b,cは求まると思います。

以上、参考になれば幸いです。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
係数比較を行って求めるしかないのですかね・・・
((bx+c)/(x^2+1))の積分はどうすればよいでしょうか?

よく理解できないので、この質問は締め切らせて頂いて新たに質問
させて頂きます。

お礼日時:2010/04/08 14:39

部分分数に分解するときは, 分解して得られる分数を「分子の次数が分母より 1 だけ低い」形でおくのが原則.


あるいは今の例に限定すれば (x+1)(x^2+1) = (x+1)(x-i)(x+i) とさらに因数分解できるので
(3x-1)/[(x+1)(x^2+1)] = a/(x+1) + b/(x-i) + c/(x+i)
とおいてもいい.
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ご指摘の因数分解は私も考えたのですが、答えとまったく違ったので・・・
答えが間違っているのでしょうか?

よく理解できないので、この質問は締め切らせて頂いて新たに質問
させて頂きます。

お礼日時:2010/04/08 14:37

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(x^4-2x^3-4x^2+13x-2)/(x-1)^5の部分分数分解

取りあえず、A/(x-1)+(Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F)/(x-1)^5
で考えてみます。

中略

A+B=1
C-4A=-2
6A+D=-4
E-4A=13
A+F=-2

と、任意のAが決まれば残りの変数がきまる形です…ココから意味が不明ですが。

強引に解いてみると、
-1/(x-1)+(2x^4-6x^3+2x^2+9x-1)/(x-1)^5になりました。
検算すると合っている気もしますがどうなのでしょう?

すいませんがお知恵をください。
出題では単に部分分数分解しろとしかありません。

Aベストアンサー

回答者の展開式は部分分数展開式とは言えません。
なので計算しても意味なし。
以下のようにやり直してください。

部分分数展開は
(x^4-2x^3-4x^2+13x-2)/(x-1)^5
=A/(x-1) +B/(x-1)^2 +C/(x-1)^3 +D/(x-1)^4 +E/(x-1)^5 …(●)
と置いて、両辺に(x-1)^5をかけた式が恒等式になることから
A,B,C,D,Eの間の関係式を出して連立方程式として解いて
A,B,C,D,Eを求めれば良い。
(●)に代入すれば部分分数展開式になる。

(参考)正しく計算できればA=1,B=2,C=-4,D=3,E=6となるはず。

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という問題なのですがどのようになるんでしょうか?

Aベストアンサー

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1)

のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
a(x^2 + 1/x^2) + b(x + 1/x) + c = 0 ‥ (3)

更に、一般に (x^2 + 1/x^2) = (x + 1/x)^2 - 2 が成り立ちますから
これを (3) に代入すれば

a(x + 1/x)^2 + b(x + 1/x) + c - 2 = 0 ‥ (4)

ここで t = x + 1/x を (4) に代入すれば、t に関する
2次方程式に変形できます。

----------------------------------------------------------------

実際の出題では、恐らく

4次方程式 x^4 - 4x^3 + 5x^2 -4x + 1 = 0 …(*) に於いて

(a) x + 1/x = t とするとき、(*) を t で表せ。
(b) t に関する2次方程式を解け。
(c) 4次方程式 (*) に於ける解をすべて求めよ。

となっていると思います。

上の変形を参考にやってみて下さい。

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1)

のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
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Aベストアンサー

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「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少数第7位まで求めよ」
とありますが、「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1」はあくまでも方程式であり、関数ではないので最大とか最小という議論にはなりません。お返事の内容から想像すると、
「方程式1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の実数解を少数第7位まで求めよ」
という趣旨だと解釈しますが、それでよいですか?最大最小という議論をするのであれば、
「関数1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3の[0,1]における最小値を求めよ」
という感じになるはずですからね。

さて、置き換えを使ってもあんまり簡単にならないので、そのまま分母を払って整理すると、
「x^3+2x^2-2=0の実数解を少数第7位まで求めよ」
という感じになりますが、これは[0,1]に実数解をひとつ、さらに虚解がふたつあることは容易に分かります。で、その解ですが、カルダノの公式を使えば、
「3x=-2+(19-3√33)^{1/3}+(19+3√33)^{1/3}」
であることは容易に分かります。ただ、この値を手計算で少数第7位まで計算するのはやはり困難なので、近似計算を手計算するのであれば、ニュートン法あたりを使うのがオーソドックスでしょう。ちなみに、このxを20桁精度で計算すると、
「x=0.83928675521416113255…」
になります。

以下、ニュートン法。f(x)=x^3+2x^2-2とおいて、(x_n,f(x_n))で接線を引き、x軸との交点をx_{n+1}とおいてみましょう。そうすると簡単な計算から、
「x_{n+1}=2(x_n^3+x_n^2+1)/(3x_n^2+4x_n)」
となることが分かります。x_1=1からスタートすれば、x_nは解の近似を与えるから順番に計算していきます。そうすると、
「x_2=6/7=0.8…」
「x_3=811/966=0.839…」
「x_4=2070198913/2466616761=0.839286…」
「x_5=6263804199613897189499314834/7463246811294598892464483629=0.83928675521416…」
となるようですね。しかしニュートン法使ったところで、x_4辺りが手計算の限界のようには感じますが、これでも少数第6位ぐらいまでしか合わないみたいですね。ちなみに精度はステップをひとつ上げると桁数が倍になるぐらいの感じです。

他の方も書かれていますが、問題文が意味不明です。書かれていることをよく確認しましょう。

「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少数第7位まで求めよ」
とありますが、「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1」はあくまでも方程式であり、関数ではないので最大とか最小という議論にはなりません。お返事の内容から想像すると、
「方程式1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の実数解を少数第7位まで求めよ」
という趣旨だと解釈しますが、それでよいですか?最大最小という議論をするのであれば、
「関数1/(1+x)+1/(1...続きを読む

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たぶん e だとは思うのですが。解き方も教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>y^(n+1)/y^n や (n+1)y/ny なんかだと+1が生きてきますよね。
そのとおり、+1を無視するわけにいきません。また、先の回答が+1を無視しているわけでもありません。
この問題を少し変えて、
lim_[x→∞](1+1/x)^(x+1)
とすれば、
lim_[x→∞](1+1/x)^(x+1)=lim_[x→∞](1+1/x)^x *(1+1/x)=e
(∵ x→∞ のとき(1+1/x)^x→e ,(1+1/x)→1)

lim_[x→∞](1+1/(x+1))^x
とすれば、y=x+1 とおいて
lim_[x→∞](1+1/(x+1))^x=lim_[y→∞](1+1/y)^(y-1)=lim_[y→∞](1+1/y)^y /(1+1/y)=e
(∵ y→∞ のとき(1+1/y)^y→e ,(1+1/y)→1)

結果は同じeですが、途中で+1を無視せずに解答する必要があるでしょう。

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf


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