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粘性流体が及ぼす摩擦応力の向き


ーーーーーーーーーー

H     →            y
↓                 ↑
ーーーーーーーーーー        →x


上図のような高さHで平行な2つの壁に挟まれた領域に流体が右に向かって流れている場合を考えます。座標軸は図のように下の壁にそって原点を置きました。
このとき流体が隔壁に及ぼすせん断応力を考えるのですが、

τ=μ(du/dy)       (u:x方向の流速、τ:せん断応力)

よりτ=[α(2y-H)]/2     (α<0:圧力勾配)
と導きました。
ここで、y=Hを代入するとτ=αH/2となり、なぜか上側の壁面では流れと逆の方向にせん断応力が働いてしまいます。ちなみにy=0を代入するとτ=-αH/2となり流れの向きと同じ方向に働きました。図を見る限り、上側も下側もX軸正の方向にせん断応力が働きそうなのに、上側の壁では負の向きになるのはどうしてなのでしょうか?式でそうなるのは分かるんですが、どうしてもイメージできません。
先生に聞くと「計算で出てくるのは板の上側だから」と言われましたが、なんだかよく分かりませんでした。

A 回答 (1件)

u:x方向の流速


u(y)= α(y^2-Hy)/2μ    α = dp/dx
ですから、これをτ=μ(du/dy)に代入して計算すると
τ=[α(2y-H)]/2 

y=H の時 τ= αH/2
y=0 の時 τ=-αH/2

u(y)はy = H/2 で最大速度を持つ上下に対称な2次曲線ですから、
上側も下側もX軸正の方向にせん断応力が働きそうなのに,
あれあれですね。

今流れ y = H/2 の中に平行して走る2枚の流れの層L1(下),L2(上)
を考えてみます。

L1とL2が流れの中心線の下側に有る時は、
L2はL1より早く流れています。
つまり、L2はL1を引きずっています。

L1とL2が流れの中心線の上側に有る時は、
L2はL1より遅く流れています。
つまり、L2はL1に引きずられています。


L2~L1 = Δy = dy ですから、
「引きずっている」と「引きずられている」の違いが符号の
反転で表されていると見ることができます
(y = 0 からスタートした時の)。
u(y) がy = H/2 を境に増加から減少に転じている為と
見ることもできます。
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Q物質と流体の間の摩擦応力について

質問です。

物体の表面と流体の間に発生する摩擦応力を算出しようと思っているのですが、断面積A(m2)に発生する摩擦応力(N/m2)はどのように求めればいいのでしょうか。なお、流体の粘度(Pa・s)や速度(m/s)は既知となっています。

幼稚な質問かも知れませんがどうかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

シアストレス(Pa=N/m2) = 粘度 x シアレート = 粘度 x (流速 / 剪断高さ)
となります。リンク先の説明が参考になるのではないかと思います。

参考URL:http://www.eko.co.jp/eko/c/c01/c01_t-viscometer/index.html

Q壁面せん断応力の導出で

毛細管流量計を使って流体粘度を測定する実験をしました。

ニュートン流体が直径Dの円管内を管内平均流速vで流れる時、
層流における壁面せん断応力τwとせん断速度8v/Dの関係は
 τw=μ(8v/D)・・・(1)
μはその温度における流体の粘度だそうです。

また、流出した体積をV0、流出時間をtとすると、
V0=(πD^2/4)vtであるから、管内平均流速vは
v=4V0/πD^2tで求められる。すると
 τw=(ρgD/4L){Hi-(θv^2)/(2g)}・・・(2)
ρ:流体密度、g:重力加速度、L:毛細管長さ
Hi:水槽水位、θ:補正係数(=2.8)

このように、τwを表す2つの式がさも当然のように書かれています。
が、教科書を見ても載っていない式であり、
θのような聞いた事も無いような値まで入っていて、
どのように導出すれば出てくるのか判りません。
2つの式の導出方法を教えて下さい。

Aベストアンサー

後半の質問に回答します。

ベルヌーイの定理を使います。
水槽の水面と毛細管出口でベルヌーイの式をたてて、、
ρgHi=Δp+θ*ρv^2/2 (1)

ところで、
Δp=4τL/D (2)
ですから、
(1)(2)よりΔpを消去し、整理すれば
ご質問の式が出てきます。

Q実質微分とは

こんばんは。

実質微分とは分かりやすく言うとなにを表しているのでしょうか?
普通の微分、偏微分とはどのように違うのでしょうか?
見識のある方、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

私なりに微分について回答させてください。
y=sin x という関数は、xが限りなく0に近いときにはy=xと近似できることは知っていますか?おそらく偏微分という言葉を知っている方ならご存知だと思います。
 微分というのはこのy=sin xという関数をy=x に近似した行為に似ます。今の例では、xが限りなく0に近いという条件がついていましたが、微分をする際にはこの条件が「xの変化が限りなく小さいとき」という条件になるのです。
 たとえば、y=x^2という関数において、x=2.0からx=2.000000000000000001に増加したときは、yの増加のしかたはy=x^2とy=2xではほぼ変わりません。
ではx=2.000000000000000001からx=2.000000000000000002に増加したらどうかというと、これも二つの関数の間には差はほぼありません。0.000000000000000001増加するところのどこを取ってもy=2xとy=x^2という関数はほぼ同じものになります。
 x=2からx=5に変化するときは二つの関数は変化の割合もまったく異なる関数に見えますが、微小変化のときは同じ関数とみなせます。
 上空から地上の景色を見たときと、地上にいるときの景色は違います。上空からは広い範囲が見えて、人は米粒のように見えますが、地上にいたら狭い範囲しか見えないが、人の表情や町の様子がはっきり見えます。
 何が言いたいかというとy=x^2に見えていた関数が実は限りなく細かく区切って見てみるとy=2xという関数であった、ということです。
 1人1人の人間に見えても実は無数の分子からできているように、通常の関数の世界と微分した世界では見方が違います。人間界が通常の関数の世界で、微分が分子レベルの世界です。要は関数に対する視点の違いです。
 細かく分けてみたらy=x^2がy=2xに見えた。その細かく分割したのをひとつひとつつなげたのが積分です。
 ちなみにdxというのは微小変化ですよね。これが細かく区切った最小単位だと考えれば、(dy/dx)*dx=dyなどといった意味不明な計算が成り立つのも納得いただけるかもしれません。
 以上、微分の説明でした。とても分かりにくくてすみません。結局言いたかったことは、微分がミクロで積分がマクロの世界だということです。
 また、偏微分はある一方向のみに細かく区切ったときのf(x,y)の振る舞いかたを表します。
 長くてすみません。

私なりに微分について回答させてください。
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Qせん断応力ってどういう時に働くのですか?

せん断応力ってどういう状態の時に働くのでしょうか?単軸引張(圧縮)の時は働かないんですよね?
2軸引張(圧縮)の時に働くのでしょうか?純粋せん断状態というのはx、y軸にそれぞれ引張、圧縮が働く時の状態を言うらしいのですが。

Aベストアンサー

一番簡単な例は正方形の板をゆがめて平行四辺形にしたとき働いています.
教科書の説明もそんな感じだと思います.
イメージとしては物体をゆがめる力です.

定義っぽく言えば,面に平行な力から発生する応力をせん断応力といい,
面に垂直な力から発生する応力を垂直応力といいます.
従って,力がかかる面が決まって始めて応力が決まります.
力を面積で割って応力となるのですから,当然ですよね?

で,単軸引っ張りだろうがなんだろうが,物体に力をかければ基本的に垂直応力とせん断応力はセットで発生します.
ただ,せん断応力がゼロになる面というのが1つだけ存在し,主応力面といいます.
棒の単軸引っ張りでは,横に切った断面でせん断応力がゼロになります.
軸力からは面に水平な力が発生しませんから.
唯一…ではないかもしれませんが,例外は静水圧を受けたときだけです.
静水圧ならば,あらゆる面でせん断応力がゼロになります.

つまり,単軸引張で働かないというのは,『軸と垂直な面を考えたときに』という一文が隠れています.
軸と垂直でない面,例えば棒の引っ張り試験なら棒を斜めに切った断面,にはせん断応力が働いています.
斜めの断面には面に斜めに軸力がかかるわけですから,
面の垂直方向と水平方向と両方に力が働いてますよね?
だから斜めの面にはせん断能力が発生します.

実際に,圧縮には強いがせん断には極端に弱いコンクリートの円筒などを軸圧縮すれば,
斜めの亀裂が入って,その断面からすべるように壊れます.
圧縮の垂直応力で壊れる前に,斜めの面に働くせん断応力で壊れるので,
せん断応力が最大になる斜め45度の面で壊れるのです.

しかし,静水圧ではあらゆる面でせん断応力が働きません.
従って,カップ麺の容器なんかを海底深く沈めれば,
形はゆがまずに,ミニなカップ麺の容器ができます.

一番簡単な例は正方形の板をゆがめて平行四辺形にしたとき働いています.
教科書の説明もそんな感じだと思います.
イメージとしては物体をゆがめる力です.

定義っぽく言えば,面に平行な力から発生する応力をせん断応力といい,
面に垂直な力から発生する応力を垂直応力といいます.
従って,力がかかる面が決まって始めて応力が決まります.
力を面積で割って応力となるのですから,当然ですよね?

で,単軸引っ張りだろうがなんだろうが,物体に力をかければ基本的に垂直応力とせん断応力はセット...続きを読む

Q円筒座標系でのナブラ、ラプラシアン

流体力学のナビエ・ストークス方程式を
勉強しています。

途中で、円筒座標系における
ナブラ∇、およびラプラシアンΔ
が出てきて、
∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)
Δ=∂^2/∂r^2 + ∂/r∂r + ∂^2/(r^2∂θ^2) + ∂^2/∂z^2
となっています。
なぜ、変なところでrで割り算したり、
ラプラシアンの項が四つになったりしているのでしょうか。
どなたか分かる方、教えていただきたいです。

Aベストアンサー

 
 
 円筒(または円柱)座標ですね;

  x → r  長さ→長さ
  y → θ 長さ→角度
  z → z  長さ→長さ

 時計の針がちょっと回転したとき、先端の動きは 針の長さ方向と直交してますね。x と y のように。
針の長さを r、ちょっとの回転角度を dθ とすれば
先端の動きは r dθ です。
dr を dx だとすれば、それに直交する dy は r dθです、
つまり、
  ∇=(∂/∂x, ∂/∂y,   ∂/∂z)
  ∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)


 △の方は、(r^2∂θ^2) が dy^2 だと気付いて欲しいんですが、微分の基本の公式
  (fg)' = f'g + fg'
で、項を増やしたあとのようですね。
ご自分で確認してください。
 
 

Q3×3行列の固有値重解時の対角化の方法

行列A=
| 1 2 2 |
| 0 2 1 |
|-1 2 2 |
とします。
固有値、固有ベクトルを求め、
正則行列Pを用いて対角化する時の手順ですが、
何度やっても最終的に対角化できません。
おそらく固有ベクトル・正則行列の求め方に問題があるのだと思うのですが、
問題点を指摘して頂けないでしょうか?
解答が手元に無く、皆さんに助けを求めさせて頂きました。

【固有値】
|A-λE|=0として
(λ-1)(λ-2)^2=0
固有値λ=1, 2(重解)

【固有ベクトル】
(A-λE)X=0より

(i)λ=1の時
|0 2 2||X1|
|0 1 1||X2|=0
|-1 2 1||X3|

∴{X2+X3=0
 {-X1+2X2+X3=0
X3=kとおくと
X2=-k,X1=-k

∴固有ベクトル
  |-1|
p1=k|-1|
  | 1|

(ii)λ=2(重解)の時
|-1 2 2||X1|
| 0 0 1||X2|=0
|-1 2 0||X3|

∴{-X1+X2+X3=0
 {X3=0
 {-X1+2X2=0

X3=X1-X2
X1=s,X2=tとおくと
X3=s-t

∴固有ベクトル
  | 1 | |0|
p2=s| 0 |+t|1|
 |0.5| |1|より

直行行列
  |-1 1 0|
P= |-1 0 1|
  | 1 0.5 1|
とする。
また、
直交行列の逆行列
   |-1 -2 2|
P-1= 1/5| 4 -2 2|
   |-1 3 2|

これらを用いて計算すると
    |1 -6 -4|
P-1AP= |0 14 36|
    |0 1 26|

となり、途方にくれてしまいます。
|1 0 0|
|0 2 0|
|0 0 2|になってくれません。
どこで間違いをおしているのでしょうか?
教えて下さい。

行列A=
| 1 2 2 |
| 0 2 1 |
|-1 2 2 |
とします。
固有値、固有ベクトルを求め、
正則行列Pを用いて対角化する時の手順ですが、
何度やっても最終的に対角化できません。
おそらく固有ベクトル・正則行列の求め方に問題があるのだと思うのですが、
問題点を指摘して頂けないでしょうか?
解答が手元に無く、皆さんに助けを求めさせて頂きました。

【固有値】
|A-λE|=0として
(λ-1)(λ-2)^2=0
固有値λ=1, 2(重解)

【固有ベクトル】
(A-λE)X=0より

(i)λ=1の時
|0 2 2||X1|
|0 1 1||X2|=...続きを読む

Aベストアンサー

固有値2に対する一次独立な
固有ベクトルはひとつしか
作れませんよね?

こういう場合は対角化できないのです。

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q速度ポテンシャルと流れ関数

二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が

u=2xy
v=x^2-y^2+1

であるとき、速度ポテンシャルφ、流れ関数ψの
求めからが分かりません。

ぜひ、教えてください。

Aベストアンサー

W(z)=φ+iψ とおくと、

dW/dz = u-iv
   = 2xy-i(x^2-y^2+1)
   = -i(z^2+1)

より、両辺をzで積分して

W(z) = ∫(-i(z^2+1))dz
   = -i(z^3/3 + z) + const.
   = -i((x+iy)^3/3 + (x+iy) + C0+iC1
   = x^2y-y^3/3+y+C0 + i(xy^2-x^3/3-x+C1)

よって

φ = x^2y-y^3/3+y+C0
ψ = xy^2-x^3/3-x+C1

となります。

Q圧力損失とは 

圧力損失について色々検索し調べましたがいまいち分かりませんのでご教授下さい。

供給圧力が一定と仮定した場合
流れる流量と圧力損失(配管長さ)の関係を教えて下さい。
配管径は同じ、配管は水平です。

イメージですが、
圧力損失が増えると流量が多く必要となる。
→配管長さが長いと圧損が大きいので流量が多い。
配管が短いと圧損が小さい→流量が少ない。

以上のイメージから配管を長くすればするほど必要流量が大きくなる。
ポンプの性能で最大流量が決まっているので、ある長さから必要な流量をまかなえなくなる。
そのため、それ以上の長さになると流体は配管の途中で止まってしまう。
こういうことは本当にあるのでしょうか?

長くなりましたが、1.流量と圧力損失の関係、2.上記の理解で正しいかどうかご教授下さい。

Aベストアンサー

全水頭H=供給圧力一定とした場合
全水頭Hは
H=損失水頭+速度水頭=一定

圧力損失が増えると流量が多く必要となる。
圧力損失が増えれば、流速=流量は減る。
(多く必要となる=設計者の意思?)
→配管長さが長いと圧損が大きい
ので流量が多い。=>流量は小さい
配管が短いと圧損が小さい→流量が少ない。=>流量は多い

以上のイメージから配管を長くすればするほど必要流量が大きくなる。
必要流量=だれが必要としているのか?

→配管を長くすれば、圧損がふえ、流量が減る。

ポンプの性能で最大流量が決まっているので、ある長さから必要な流量をまかなえなくなる。
それ以上の長さになると流体は配管の途中で止まってしまう。
流速が減ると損失の減るので単純ではないが大まかには正しい。

Q流線と流れ関数の関係

以下のサイトの「流線と流れ関数の関係」のところなのですが
http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/StreamFunction/

「同一の流線上では流量が零なので、ψ=constantが言えます。」とあるのですが、同一の流線上で流量が0となるのは何故ですか?

あと、流れ関数や速度ポテンシャルについて具体的な事例や図などを用いて解説しているサイト・本などがありましたら教えてください。

Aベストアンサー

流線(streamline)というのは、その線上の各点における接線が流速を示すベクトルの向き(方向?)と一致する線です。したがって、流線を横切る流量は0ですね。
流れ関数(stream function)というのは、2次元非圧縮流のなかに2点、たとばP1とP2をとったとき、その2点を結ぶ任意の曲線Cを単位時間に横切る流量に関係しています。
Ψ(P2)-Ψ(P1)=∫Vnds Vn:流速の法線成分
即ち、流れ関数のP1とP2における値の差が、P1とP2を結ぶ任意の曲線を単位時間に横切る流量を示します。具体的なイメージとしては、2次元非圧縮流の中に、赤と青の旗を立てたとすると、その間を単位時間に流れていく流量を流れ関数Ψの差が表しているということになります。したがって、赤青2本の旗が、同一流線上にあれば、そもそも流線上では、流速は法線成分を持ち得ないのですから、流線を横切って流れる流量は0です。したがって、流れ関数のP1における値とP2に置ける値の差は0、即ち、Ψ=const.です。


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