全ての整数nに対して、不定積分∫(x^n)*(logx) dxを求める

全ての整数nに対して、不定積分∫(x^n)*(logx) dxを求めるにはどうすればいいでしょうか。
部分積分でなんとか出来るのかな？と考えましたが、
(x^n)の部分が何度も出てきて困っています。

No.2 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/05/09 20:31

部分積分です．

In=∫(x^n)*(log(x)) dx
とおけば
とおいたときに
In =x^{n+1}log(x) - x^{n+1} - n In + (1/(n+1))x^{n+1}
という形になりますが，右辺と左辺のInは実は同じものではないので
この形は厳密には間違いなんですが，その違いは定数分しかないので
結局
In = (1/(n+1)) x^{n+1}log(x) - (1/(n+1)^2)x^{n+1} + C
です．

この回答へのお礼

お礼が遅くなり申し訳ありません、ありがとうございました。

お礼日時：2010/05/13 18:13

No.1 回答者： aquatarku5 回答日時： 2010/05/09 20:19

部分積分でOKですが、最初に(x^n)を積分することになりますね。

n≠-1のとき、
I=1/(n+1)・x^(n+1)logx-∫1/(n+1)・x^(n+1)・1/x・dx
={x^(n+1)logx-∫x^n・dx}/(n+1)
　→　あとよろしくおねがいします。

n=-1のとき、
I=(logx)^2-∫logx・1/x・dx=(logx)^2-I
→　あとよろしくおねがいします。

この回答へのお礼

場合分けの事をすっかり忘れていました。ありがとうございました。

お礼日時：2010/05/13 18:12