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固定点(不動点)定理 中間値の定理を用いた証明方法

今大学で固定点(不動点)定理の証明の課題がでています。
中間値の定理を用いた証明です。

イメージはわかったのですが文章で書くとなるとうまく書くことができません。
アドバイス、回答なんでもいいのでよろしくお願いいたします。

gooドクター

A 回答 (2件)

「不動点定理」といってもいろいろある。


ので、「中間値の定理」向きのバージョンを。

X を閉区間 [0, 1] とし、f を X から X への連続写像とする。f は不動点をもつ。

[証明例]
x∈X にて、0≦f(x)≦1。
f(0) = 0 なら、x = 0 が不動点。f(1) = 1 なら、x = 1 が不動点。
残るは、f(0)>0、f(1)<1 の場合。
g(x) = f(x) - x を考えると、
 g(0) = f(0) - 0 >0
 g(1) = f(1) - 1 <0
だから、「中間値の定理」により、g(xo) = 0 {つまり、f(xo) = xo }なる xo∈X があるはず。
すなわち xo が不動点。
  
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最も一般的に不動点定理を述べるならば、「コンパクト空間上の連続写像は、


不動点を持つ」ということでしょうか?(ブラウワーの不動点定理)
空間上のある点(どの点でも良い)を連続写像で繰り返し移して行ったとき
の極限の点が不動点になる、だったと思います。
つまり、Xをコンパクト空間として、f:X→Xを連続写像、a∈Xに対して、
a1=f(a),a2=f(a1),a3=f(a2),・・・,an=f(an-1),・・・
として点列を構成して、{an}のn→∞のときの極限の点を考えれば、その点が
不動点になるのだったと思います。
閉区間上の連続関数には不動点が存在するといった、少し、状況を限定した
バージョンの不動点定理もありますが、この場合は、コンパクト空間として
閉区間を考えれば、同様に証明できるでしょう。
証明でやっていることを理解するためにも、最初は、閉区間上の連続関数の
バージョンで、グラフを描いて証明を視覚化して理解する方が良いかもしれ
ません。
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