No.2ベストアンサー
- 回答日時:
jm4cvpさん、こんにちは。
3項間の漸化式の場合、f(2)が決まっていないと、f(n)は求められないと思うのですが・・
n≧2のとき
f(n+1)-2f(n)+f(n-1)=1
f(n+1)-f(n)=f(n)-f(n-1)+1 と変形
f(n+1)-f(n)=f(n)-f(n-1)+1
f(n)-f(n-1)=f(n-1)-f(n-2)+1
・・・・・
f(3)-f(2)=f(2)-f(1)+1
-----------------------------上から下まで足すと
f(n+1)-f(2)=f(n)-f(1)+(n-1)←1の(n-1)個分
さらに整理して
f(n+1)-f(n)=f(2)-f(1)+(n-1)とかけますので
f(n)-f(n-1)=f(2)-f(1)+(n-2)
f(n-1)-f(n-2)=f(2)-f(1)+(n-3)
・・・・
f(2)-f(1)=f(2)-f(1)+0
--------------------------------上から下まで足すと
f(n)-f(1)={f(2)-f(1)}(n-1)+Σ[k=1to(n-2)]k
f(n)=1+(n-1)f(2)-(n-1)+(n-2)(n-1)/2
f(n)=(n-1)f(2)-n+2+(n-1)(n-2)/2
のように書くことができると思います。
f(2)が与えられていれば、求められますね。
No.6
- 回答日時:
そもそも整式になるのか?
という問題があります。整式とすれば2次式かもしれないけれど・・・
それを示すには結局#2などのようにやることになるので
それならば最初から#2のようにやったほうが良い。
数列の問題として捕らえれば、
{f(n+1)-f(n)}-{f(n)-f(n-1)}=1
b(n)-b(n-1)=1 の形ですから階差数列が公差1の等差数列
を意味しています。
3項間の漸化式は2つの項が分からないと決定できないでしょう
No.5
- 回答日時:
混乱させてしまい大変申し訳ないです。
ずっと頭の中だけでやってたのですが、
jm4cvp さんの解答をちゃんと追ってみたところ
大ポカをやってたことに気づきました。
f(1) の式から a + b + c = 1
n>=2 の関係式から 2a = 1
という2つしか独立な式は得られませんね。
自身ありとしておきながらやっちゃいました。
> または解けるのでしょうか(笑)?
ほんとですね。
αを任意定数として
f(x) = (1/2)x^2 + αx + (1/2 - α)
までしか決まらないですね。
No.4
- 回答日時:
解答を書かずにヒントにとどめようとしたので
少しわかりにくい表現になってしまったかもしれませんね。
> f(1)の式からひとつ。
> f(2)とf(n>=2)をつなぐ式。
> までは理解できるのですが、
f(2) と f(n>=2) をつなぐ式ではなく
f(1) と f(n>=2) をつなぐ式ですね。
> f(n>=2)のあいだの関係式が作り方がわかりません。
少し表現が悪かったようで申し訳ありません。
これはnが2以上の f(n) のみの間の関係式という意味で書いたので、
n = 3, 4, … を代入した場合です。
すでに jm4cvp さんが出している式だと思います。
n = 2 の場合が左辺に f(1) も混じってきますが、
ここで f(1) = a + b + c を左辺に入れてしまうと、
nが3以上のときと同じ式になってしまいます。
nが2以上で成り立つ
f(n+1)-2f(n)+f(n-1)=1
の式と、n = 1 の
f(1)=1
をつなぐために f(1) = a + b + c ではなく
f(1) = 1 を代入することで新しい式が得られます。
困ってらしたのはここですかね?
ありがとうございます。
トンチンカンなことをやっているかもしれませんが、とりあえずこんな風にしてみました。
f(1)=1 より
a+b+c=1 -(1)
n=2の時
f(3)-2f(2)+f(1)=1
9a+3b+c-2(4a+2b+c)+1=1
a-b-c=0 -(2)
n=3の時
f(4)-2f(3)+f(2)=1
16a+4b+c-2(9a+3b+c)+4a+2b+c=1
2a=1
a=1/2
でaが出てきました。
そこでaを(1)、(2)に代入してb,cを出そうとしたのですが・・・。
(1)1/2+b+c=1
b+c=1/2
(2)1/2-b-c=0
b+c=1/2
となってしまい、2つとも同じ式になってしまいました。
ハチャメチャなことをやっているかもしれませんが、もう少しご教授していただけませんでしょうか?
すみません・・・。
No.3
- 回答日時:
> 関数式を求めよ
これは整式と思って回答します。
> 二次式なのはすぐにわかったのです。
たしかに3次以上だと左辺にnが残ってしまいますね。
ただし、jm4cvp さんが試されたように
f(x) = ax^2 + bx + c
のようにおいた後 x = 2, 3, 4 を代入しても
新しい式は出てきません。
2以上のどんなnを代入しても左辺が1になる
ということからf(x) が2次式であることを決めたので
当然といえば当然です。
f(1) の式からひとつ。
f(1) と f(n>=2) をつなぐ式。
f(n>=2) のあいだの関係式。
という3つから係数が決定できます。
回答ありがとうございます。
f(1)の式からひとつ。
f(2)とf(n>=2)をつなぐ式。
までは理解できるのですが、
f(n>=2)のあいだの関係式が作り方がわかりません。
やっぱりf(2)の値がいるのですか?
No.1
- 回答日時:
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