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ax+by=0
cx+dy=0
は必ず(x、y)=(0,0)の解を持つから、↑の解は(x、y)=(0,0)だけか無数にあるかのどちらかである。
A=(ab)
----(cd)(行列のつもりです)の逆行列があれば↑の解は(x、y)=(0,0)である。
もし↑の式が(x、y)=(0,0)以外の解を持つならば解は無数にあり、Aは逆行列を持たない。
>無数にあるかのどちらかである。
無数にあるというのは、a=b=c=d=0の場合のことでしょうか?
>A=(ab)
----(cd)(行列のつもりです)の逆行列があれば↑の解は(x、y)=(0,0)である。
これはdetA=ad-bc[not]=0で、「a=b=c=d=0」でないからでしょうか?
>もし↑の式が(x、y)=(0,0)以外の解を持つならば解は無数にあり、Aは逆行列を持たない。
無数に解をもつとき、「a=b=c=d=0」だから、detAが存在しないのでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
yyama19さん、こんにちは。
>>無数にあるかのどちらかである。
>無数にあるというのは、a=b=c=d=0の場合のことでしょうか?
a=b=c=dのとき、行列Aは0行列になるので、
どんな(x,y)を持ってきても積は(0,0)になります(←横に書いてますけど)
だから、もちろんそうなんですが、それ以外にも、
行列Aが逆行列を持たないときは、解は無数にあります。
それは、どういうことかというと、行列Aが逆行列を持たないということは
detA=0
このような行列、例えば
1 2
A=( )
2 4
を考えてみましょう。
x x+2y 0
A( )=( )=( )
y 2x+4y 0
ですが、
x+2y=0を満たすような(x,y)の組は、無数にありますね。
(2,-1)もそうだし、(-4,2)もそうです。
(0,0)以外の実数の組がたくさんあります。
>>A=(ab)
----(cd)(行列のつもりです)の逆行列があれば↑の解は(x、y)=(0,0)である。
これはdetA=ad-bc[not]=0で、「a=b=c=d=0」でないからでしょうか?
というか、
x 0
A( )=( )
y 0
の両辺に、A^(-1)が存在するならば、それを左からかけると
x x 0 0
A^(-1)*A( )=( )=A^(-1)*( )=( )
y y 0 0
なので、(x,y)=(0,0)
であることが、逆行列を左からかけることによって、いえるからです。
>>もし↑の式が(x、y)=(0,0)以外の解を持つならば解は無数にあり、Aは逆行列を持たない。
無数に解をもつとき、「a=b=c=d=0」だから、detAが存在しないのでしょうか?
解を無数に持つとき、ただちにa=b=c=d=0とはいえません。
連立方程式を解いて
ax+by=0
cx+dy=0
この連立方程式が、今(x,y)=(0,0)以外の解を持つとします。
x≠0,y≠0と仮定しますね。
このとき、
ax+by=0より、y=(-a/b)x
これをcx+dy=0に代入すると
cx+d(-a/b)x=0
{(bc-ad)/b}x=0
(bc-ad)x=0
ところが、x≠0であったため、ad-bc=0でなければならない。
これは、何を意味するかというと、
最初の行列Aの行列式の値が0、すなわち逆行列を持たないことを意味します。
ということになりますね。
a=b=c=d=0
という0行列のみならず、ad-bc=0を満たす行列であれば
(x,y)の組は無数に存在する、ということです。
No.2
- 回答日時:
例として2つの方程式が
x+2y=0
2x+4y=0
という場合を考えて見ましょう。
これ見かけは違う式ですが実は同じ式です。
この場合片方の式を満たせばいいので答は無数にあります。
グラフでいうと普通は2直線の交点として答が1つになりますが
2直線が重なってしまえば答は無数になるということです。
なお ad-bc=0はa,b,c,dの比が
a:b=c:d (a/c=b/d)
ということです。
c=ka,d=kb としてみれば成り立つことがわかると思います。
最後に係数c=0,d=0はx,yが何でもよい、
(グラフでいえば平面全体)になりますから当然成り立ちます。
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