n次正方行列A=(aij)に対してA^tの(i,k)成分を書け。さらにA^tAの(i,j)成分をΣ記号を用いて書け。
この問題は、
A^tの(i,k)成分は(aik)_______n
A^tAの(i,j)成分をΣ記号を用いて書くとΣ aik でいいのでしょうか?
________________k=1
また、A^t×A=Bとおくとき、B^t=Bが成り立つのはなぜでしょうか?
証明してくださるとありがたいです。
どなたか、回答お願いします。(_は字数合わせです。)A^tとB^tは転置行列です
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>A^tの(i,k)成分を書け
A^tの(i,k)成分は、Aの(k,i)成分なので、a_kiである。
(ここで " _ki " というのは、添え字のkiがくっついているという意味である)
>A^tAの(i,j)成分をΣ記号を用いて書け
前問を利用する。一旦、A^tのij成分を(f_ij)と書くことにする。
すると、行列の積の定義より、
(A^tAの(i,j)成分)
= ?_(k=1)^(n) f_ik a_kj
= ?_(k=1)^(n) a_ki a_kj
である。
>A^t×A=Bとおくとき、B^t=Bが成り立つのはなぜでしょうか?
前問より、Bの(i,j)成分は ?_(k=1)^(n) a_ki a_kj。
一方、Bの(j,i)成分は ?_(k=1)^(n) a_kj a_ki = ?_(k=1)^(n) a_ki a_kj であり、よって(i,j)成分と同じ。
故に、Bの転置行列は元のBに等しい。
これくらい、教科書に書いていなかっただろうか?
No.2
- 回答日時:
A^tって、Aの転置行列のことですよね?
であれば、
・A^tの(i,k)成分=Aの(k,i)成分ですよね →1つ目の答え
・(A^t)Aの(i,j)成分
=(A^t)のi行目×Aのj列目=Σ{k=1~n}(a_ki*a_kj) →2つ目の答え
・2番目に導いた結果を利用します。
Bの(i,j)成分=Σ{k=1~n}(a_ki*a_kj)
B^tの(i,j)成分=Bの(j,i)成分=Σ{k=1~n}(a_kj*a_ki)
この両者が等しいので、成立する。 →3つ目の答え
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